極限 $\lim_{x \to -\infty} \log_{\frac{1}{2}}(2+\frac{1}{x})$ を求める問題です。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to -\infty} \log_{\frac{1}{2}}(2+\frac{1}{x})$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x \to -\infty$ のとき、$\frac{1}{x}$ がどうなるかを考えます。

$x$ が負の方向に非常に大きな値になるので、$\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

したがって、$\frac{1}{x} \to 0$ となります。

次に、$2+\frac{1}{x}$ の極限を考えます。

$\lim_{x \to -\infty} (2+\frac{1}{x}) = 2 + \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 2 + 0 = 2$

最後に、対数の極限を考えます。

$\lim_{x \to -\infty} \log_{\frac{1}{2}}(2+\frac{1}{x}) = \log_{\frac{1}{2}} (\lim_{x \to -\infty} (2+\frac{1}{x})) = \log_{\frac{1}{2}}(2)$

$\log_{\frac{1}{2}}(2)$ の値を計算します。

$\log_{\frac{1}{2}}(2) = y$ とすると、$(\frac{1}{2})^y = 2$

$2^{-y} = 2^1$

$-y = 1$

$y = -1$

したがって、$\lim_{x \to -\infty} \log_{\frac{1}{2}}(2+\frac{1}{x}) = -1$

3. 最終的な答え

-1