数列 ${(x-1)^n}$ が収束するような $x$ の範囲を求め、そのときの極限値を求めよ。

1. 問題の内容

数列 ${(x-1)^n}$ が収束するような $x$ の範囲を求め、そのときの極限値を求めよ。

2. 解き方の手順

数列 ${(x-1)^n}$ が収束するための条件は、以下のいずれかが成り立つことです。

* $x-1 = 1$ のとき、$x=2$。このとき、数列は ${1^n} = 1$ になり、極限値は1。

* $x-1 = -1$ のとき、$x=0$。このとき、数列は ${(-1)^n}$ になり、振動するため収束しない。

* $-1 < x-1 < 1$ のとき。このとき、数列は0に収束する。

$-1 < x-1 < 1$ を解くと、

$0 < x < 2$。

この範囲では、$\lim_{n \to \infty} (x-1)^n = 0$ である。

したがって、数列 ${(x-1)^n}$ が収束する $x$ の範囲は、$0 < x < 2$ または $x=2$ である。

まとめると、$0 < x \le 2$となる。

このとき、極限値は、

$0 < x < 2$ のとき $0$、

$x=2$ のとき $1$。

3. 最終的な答え

$x$ の範囲: $0 < x \le 2$

極限値:

$0 < x < 2$ のとき $0$

$x=2$ のとき $1$