与えられた数列の極限を求める問題です。問題は2つのパートに分かれています。 パート1 (710新編 数学III 練習9) では、以下の極限を求めます。 (1) $\lim_{n \to \infty} \frac{5^n - 2^n}{5^n + 2^n}$ (2) $\lim_{n \to \infty} \frac{4^n - 2^n}{3^n}$ (3) $\lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1}}{3^n - 2^n}$ パート2 (REPEAT数学III REPEAT15) では、以下の極限を求めます。 (1) $\lim_{n \to \infty} \frac{5^n}{4^n + 2^n}$ (2) $\lim_{n \to \infty} \frac{2^n - 3^n}{3^n + 2^n}$ (3) $\lim_{n \to \infty} |(-3)^n + 2^n|$

以下に、問題の解答を示します。

1. 問題の内容

与えられた数列の極限を求める問題です。問題は2つのパートに分かれています。

パート1 (710新編 数学III 練習9) では、以下の極限を求めます。

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{5^n - 2^n}{5^n + 2^n}$

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{4^n - 2^n}{3^n}$

(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1}}{3^n - 2^n}$

パート2 (REPEAT数学III REPEAT15) では、以下の極限を求めます。

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{5^n}{4^n + 2^n}$

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{2^n - 3^n}{3^n + 2^n}$

(3) $\lim_{n \to \infty} |(-3)^n + 2^n|$

2. 解き方の手順

パート1:

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{5^n - 2^n}{5^n + 2^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 - (\frac{2}{5})^n}{1 + (\frac{2}{5})^n}$

$\frac{2}{5} < 1$ なので、 $\lim_{n \to \infty} (\frac{2}{5})^n = 0$. よって、$\lim_{n \to \infty} \frac{1 - (\frac{2}{5})^n}{1 + (\frac{2}{5})^n} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$.

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{4^n - 2^n}{3^n} = \lim_{n \to \infty} ((\frac{4}{3})^n - (\frac{2}{3})^n) = \lim_{n \to \infty} (\frac{4}{3})^n - \lim_{n \to \infty} (\frac{2}{3})^n$

$\frac{4}{3} > 1$ なので、$\lim_{n \to \infty} (\frac{4}{3})^n = \infty$. また、$\frac{2}{3} < 1$ なので、$\lim_{n \to \infty} (\frac{2}{3})^n = 0$.

したがって、$\lim_{n \to \infty} \frac{4^n - 2^n}{3^n} = \infty - 0 = \infty$.

(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1}}{3^n - 2^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot 2^n}{3^n - 2^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{(\frac{3}{2})^n - 1}$

$\frac{3}{2} > 1$ なので、$\lim_{n \to \infty} (\frac{3}{2})^n = \infty$. よって、$\lim_{n \to \infty} \frac{2}{(\frac{3}{2})^n - 1} = \frac{2}{\infty - 1} = 0$.

パート2:

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{5^n}{4^n + 2^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{(\frac{4}{5})^n + (\frac{2}{5})^n}$

$\frac{4}{5} < 1$ なので、$\lim_{n \to \infty} (\frac{4}{5})^n = 0$. $\frac{2}{5} < 1$ なので、$\lim_{n \to \infty} (\frac{2}{5})^n = 0$.

したがって、$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{(\frac{4}{5})^n + (\frac{2}{5})^n} = \frac{1}{0 + 0} = \infty$.

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{2^n - 3^n}{3^n + 2^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{2}{3})^n - 1}{1 + (\frac{2}{3})^n}$

$\frac{2}{3} < 1$ なので、$\lim_{n \to \infty} (\frac{2}{3})^n = 0$. よって、$\lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{2}{3})^n - 1}{1 + (\frac{2}{3})^n} = \frac{0 - 1}{1 + 0} = -1$.

(3) $\lim_{n \to \infty} |(-3)^n + 2^n|$

$n$ が偶数のとき、$(-3)^n = 3^n$ なので、 $|(-3)^n + 2^n| = 3^n + 2^n$.

$n$ が奇数のとき、$(-3)^n = -3^n$ なので、 $|(-3)^n + 2^n| = |-3^n + 2^n| = |2^n - 3^n| = 3^n - 2^n$.

いずれの場合も、$3^n$ の項が支配的であり、$\lim_{n \to \infty} (3^n + 2^n) = \infty$ かつ $\lim_{n \to \infty} (3^n - 2^n) = \infty$ なので、$\lim_{n \to \infty} |(-3)^n + 2^n| = \infty$.

3. 最終的な答え

パート1:

(1) 1

(2) $\infty$

(3) 0

パート2:

(1) $\infty$

(2) -1

(3) $\infty$