次の4つの数列の極限を求めます。 (1) $(\sqrt{3})^n$ (2) $(\frac{2}{3})^n$ (3) $(-\frac{4}{3})^n$ (4) $2(-\frac{4}{5})^n$ また、数列 $\{(x-1)^n\}$ が収束するような $x$ の値の範囲を求め、そのときの極限値を求めます。

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

次の4つの数列の極限を求めます。

(1) $(\sqrt{3})^n$

(2) $(\frac{2}{3})^n$

(3) $(-\frac{4}{3})^n$

(4) $2(-\frac{4}{5})^n$

また、数列 $\{(x-1)^n\}$ が収束するような $x$ の値の範囲を求め、そのときの極限値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $r^n$ の形の数列の極限について

一般に、数列 $\{r^n\}$ の極限は、 $r$ の値によって次のようになります。

* $|r| < 1$ のとき、$\lim_{n \to \infty} r^n = 0$

* $r = 1$ のとき、$\lim_{n \to \infty} r^n = 1$

* $r > 1$ のとき、$\lim_{n \to \infty} r^n = \infty$

* $r \leq -1$ のとき、$\{r^n\}$ は振動し、極限は存在しません。

(1) $(\sqrt{3})^n$

$r = \sqrt{3} > 1$ なので、$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{3})^n = \infty$ となります。

(2) $(\frac{2}{3})^n$

$r = \frac{2}{3}$ であり、 $|r| < 1$ なので、$\lim_{n \to \infty} (\frac{2}{3})^n = 0$ となります。

(3) $(-\frac{4}{3})^n$

$r = -\frac{4}{3}$ であり、$r < -1$ なので、数列は振動し、極限は存在しません。

(4) $2(-\frac{4}{5})^n$

$r = -\frac{4}{5}$ であり、 $|r| < 1$ なので、$\lim_{n \to \infty} (-\frac{4}{5})^n = 0$ となります。したがって、

$\lim_{n \to \infty} 2(-\frac{4}{5})^n = 2 \cdot 0 = 0$ となります。

(2) 数列 $\{(x-1)^n\}$ の収束条件

数列 $\{(x-1)^n\}$ が収束するためには、$r = x-1$ とおくと、$-1 < x-1 \leq 1$ である必要があります。

$-1 < x-1$ より、 $0 < x$

$x-1 \leq 1$ より、 $x \leq 2$

したがって、$0 < x \leq 2$ が収束するための $x$ の範囲です。

極限値について

* $x = 1$ のとき、$x-1 = 0$ なので、$\lim_{n \to \infty} (x-1)^n = 0$

* $1 < x \leq 2$ のとき、$0 < x-1 \leq 1$ なので、$\lim_{n \to \infty} (x-1)^n = 0 \ (0 < x < 2), \lim_{n \to \infty} (x-1)^n = 1 \ (x=2)$

* $x \neq 1$ のとき、$\lim_{n \to \infty} (x-1)^n = 0$

したがって，$0 < x < 2$ のとき、極限値は0であり、$x = 2$ のとき、極限値は1です。

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{3})^n = \infty$

(2) $\lim_{n \to \infty} (\frac{2}{3})^n = 0$

(3) 数列 $\{ (-\frac{4}{3})^n \}$ は振動し、極限は存在しない

(4) $\lim_{n \to \infty} 2(-\frac{4}{5})^n = 0$

数列 $\{(x-1)^n\}$ が収束する $x$ の範囲は $0 < x \leq 2$ であり、極限値は以下の通りです。

* $0 < x < 2$ のとき、0

* $x = 2$ のとき、1