関数 $y = x^3 - 2x^2 + 5x - 1$ を微分せよ。

## 問題 1-1

1. 問題の内容

関数 $y = x^3 - 2x^2 + 5x - 1$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

各項を個別に微分し、それらを合計します。

* $x^3$ の微分は $3x^2$

* $-2x^2$ の微分は $-4x$

* $5x$ の微分は $5$

* $-1$ の微分は $0$

$y' = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(2x^2) + \frac{d}{dx}(5x) - \frac{d}{dx}(1)$

$y' = 3x^2 - 4x + 5$

3. 最終的な答え

$y' = 3x^2 - 4x + 5$

## 問題 1-2

1. 問題の内容

関数 $y = x^3 \cos x$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

積の微分公式を使用します。$(uv)' = u'v + uv'$

ここで、$u = x^3$ と $v = \cos x$ とします。

* $u' = 3x^2$

* $v' = -\sin x$

$y' = (x^3)' \cos x + x^3 (\cos x)'$

$y' = 3x^2 \cos x - x^3 \sin x$

3. 最終的な答え

$y' = 3x^2 \cos x - x^3 \sin x$

## 問題 1-3

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{e^x}{\sin x}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

商の微分公式を使用します。$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

ここで、$u = e^x$ と $v = \sin x$ とします。

* $u' = e^x$

* $v' = \cos x$

$y' = \frac{(e^x)' \sin x - e^x (\sin x)'}{(\sin x)^2}$

$y' = \frac{e^x \sin x - e^x \cos x}{\sin^2 x}$

$y' = \frac{e^x (\sin x - \cos x)}{\sin^2 x}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{e^x (\sin x - \cos x)}{\sin^2 x}$

## 問題 1-4

1. 問題の内容

関数 $y = \cos 3x$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

合成関数の微分を使用します。

$y' = (\cos u)' \cdot u'$, where $u = 3x$.

$(\cos u)' = -\sin u$, $u' = 3$

$y' = -\sin(3x) \cdot 3$

$y' = -3 \sin 3x$

3. 最終的な答え

$y' = -3 \sin 3x$

## 問題 1-5

1. 問題の内容

関数 $y = \log|3x-1|$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

合成関数の微分を使用します。

$y' = \frac{1}{u} \cdot u'$, where $u = 3x-1$.

$\frac{d}{dx}(\log|x|) = \frac{1}{x}$

$u' = 3$

$y' = \frac{1}{3x-1} \cdot 3$

$y' = \frac{3}{3x-1}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{3}{3x-1}$

## 問題 1-6

1. 問題の内容

関数 $y = e^{-2x}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

合成関数の微分を使用します。

$y' = e^u \cdot u'$, where $u = -2x$.

$(e^u)' = e^u$, $u' = -2$

$y' = e^{-2x} \cdot (-2)$

$y' = -2e^{-2x}$

3. 最終的な答え

$y' = -2e^{-2x}$

## 問題 1-7

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt[5]{x^3}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を $x$ のべき乗として書き換えます。

$y = x^{\frac{3}{5}}$

次に、べき乗の微分公式を使用します。

$y' = \frac{3}{5} x^{\frac{3}{5} - 1}$

$y' = \frac{3}{5} x^{-\frac{2}{5}}$

$y' = \frac{3}{5 \sqrt[5]{x^2}}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{3}{5}x^{-\frac{2}{5}} = \frac{3}{5 \sqrt[5]{x^2}}$

## 問題 1-8

1. 問題の内容

関数 $y = \tan^{-1}\sqrt{x^2 - 1}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

合成関数の微分を使用します。

$y' = \frac{1}{1+u^2} \cdot u'$, where $u = \sqrt{x^2 - 1}$.

$(\tan^{-1} u)' = \frac{1}{1+u^2}$

$u' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 1}} \cdot (2x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}$

$y' = \frac{1}{1 + (x^2 - 1)} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}$

$y' = \frac{1}{x^2} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}$

$y' = \frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}}$

## 問題 2-1

1. 問題の内容

関数 $y = x^{\frac{1}{x}}$ を対数微分法を使って微分せよ。

2. 解き方の手順

両辺の自然対数を取ります。

$\ln y = \ln (x^{\frac{1}{x}})$

$\ln y = \frac{1}{x} \ln x$

両辺を $x$ で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\frac{1}{x} \ln x)$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2} \ln x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2} (1 - \ln x)$

$\frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{1}{x^2} (1 - \ln x)$

$\frac{dy}{dx} = x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1}{x^2} (1 - \ln x)$

$\frac{dy}{dx} = x^{\frac{1}{x}-2} (1 - \ln x)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = x^{\frac{1}{x}-2} (1 - \ln x)$

## 問題 2-2

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt[3]{\frac{(x-1)(x+2)}{(x+1)^2}}$ を対数微分法を使って微分せよ。

2. 解き方の手順

両辺の自然対数を取ります。

$\ln y = \ln \left(\sqrt[3]{\frac{(x-1)(x+2)}{(x+1)^2}}\right)$

$\ln y = \frac{1}{3} \ln \left(\frac{(x-1)(x+2)}{(x+1)^2}\right)$

$\ln y = \frac{1}{3} [\ln (x-1) + \ln (x+2) - 2 \ln (x+1)]$

両辺を $x$ で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} [\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+2} - \frac{2}{x+1}]$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} [\frac{(x+2)(x+1) + (x-1)(x+1) - 2(x-1)(x+2)}{(x-1)(x+2)(x+1)}]$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} [\frac{x^2 + 3x + 2 + x^2 - 1 - 2(x^2+x-2)}{(x-1)(x+2)(x+1)}]$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} [\frac{x^2 + 3x + 2 + x^2 - 1 - 2x^2-2x+4}{(x-1)(x+2)(x+1)}]$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} [\frac{x+5}{(x-1)(x+2)(x+1)}]$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} y \frac{x+5}{(x-1)(x+2)(x+1)}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{(x-1)(x+2)}{(x+1)^2}} \frac{x+5}{(x-1)(x+2)(x+1)}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} \frac{x+5}{\sqrt[3]{(x-1)^2(x+2)^2(x+1)^4}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{x+5}{3\sqrt[3]{(x-1)^2(x+2)^2(x+1)^4}}$

## 問題 3-1

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\pi - 2x}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$x = \frac{\pi}{2}$を代入すると、$\frac{0}{0}$ となり不定形なので、ロピタルの定理を使用する。

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\pi - 2x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{-\sin x}{-2}$

$=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{2}$

$=\frac{\sin \frac{\pi}{2}}{2} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$

## 問題 3-2

1. 問題の内容

$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$x \to +\infty$ を代入すると、$\frac{\infty}{\infty}$ となり不定形なので、ロピタルの定理を使用する。

$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{e^x}$

再度$\frac{\infty}{\infty}$ となり不定形なので、ロピタルの定理を使用する。

$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{e^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x}$

$x \to +\infty$ で、$e^x \to \infty$なので、

$\lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x} = 0$

3. 最終的な答え

$0$

## 問題 4-1

1. 問題の内容

関数 $y = \log|2x+3|$ の第3次までの導関数を求めよ。

2. 解き方の手順

$y = \log|2x+3|$

1階微分: $y' = \frac{2}{2x+3}$

2階微分: $y'' = 2\cdot(-1)(2x+3)^{-2}\cdot 2 = \frac{-4}{(2x+3)^2}$

3階微分: $y''' = -4\cdot(-2)(2x+3)^{-3}\cdot 2 = \frac{16}{(2x+3)^3}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{2}{2x+3}, y'' = \frac{-4}{(2x+3)^2}, y''' = \frac{16}{(2x+3)^3}$

## 問題 4-2

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{\sqrt{1-x}}$ の第3次までの導関数を求めよ。

2. 解き方の手順

$y = (1-x)^{-\frac{1}{2}}$

1階微分: $y' = -\frac{1}{2} (1-x)^{-\frac{3}{2}}(-1) = \frac{1}{2}(1-x)^{-\frac{3}{2}}$

2階微分: $y'' = \frac{1}{2}(-\frac{3}{2}) (1-x)^{-\frac{5}{2}}(-1) = \frac{3}{4}(1-x)^{-\frac{5}{2}}$

3階微分: $y''' = \frac{3}{4}(-\frac{5}{2}) (1-x)^{-\frac{7}{2}}(-1) = \frac{15}{8}(1-x)^{-\frac{7}{2}}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{1}{2}(1-x)^{-\frac{3}{2}}, y'' = \frac{3}{4}(1-x)^{-\frac{5}{2}}, y''' = \frac{15}{8}(1-x)^{-\frac{7}{2}}$