関数 $f(x) = x^3 + 3x^2 - 2x + 1$ 上の点P(1, 3) が与えられています。$f(x)$ 上の点Qにおける接線 $l_2$ が点Pを通るときの接線 $l_2$ の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 + 3x^2 - 2x + 1$ 上の点P(1, 3) が与えられています。$f(x)$ 上の点Qにおける接線 $l_2$ が点Pを通るときの接線 $l_2$ の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

* まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = 3x^2 + 6x - 2$

* $f(x)$ 上の点Qのx座標を $t$ とすると、Qの座標は $(t, f(t))$ 、つまり $(t, t^3 + 3t^2 - 2t + 1)$ となります。

* 点Qにおける接線 $l_2$ の傾きは $f'(t) = 3t^2 + 6t - 2$ となります。

* 点Qにおける接線 $l_2$ の方程式は、次のようになります。

$y - (t^3 + 3t^2 - 2t + 1) = (3t^2 + 6t - 2)(x - t)$

* この接線 $l_2$ が点P(1, 3) を通るので、x = 1, y = 3 を代入します。

$3 - (t^3 + 3t^2 - 2t + 1) = (3t^2 + 6t - 2)(1 - t)$

$3 - t^3 - 3t^2 + 2t - 1 = 3t^2 + 6t - 2 - 3t^3 - 6t^2 + 2t$

$2 - t^3 - 3t^2 + 2t = -3t^3 - 3t^2 + 8t - 2$

$2t^3 - 6t + 4 = 0$

$t^3 - 3t + 2 = 0$

* $t^3 - 3t + 2 = (t - 1)(t^2 + t - 2) = (t - 1)(t - 1)(t + 2) = (t - 1)^2(t + 2) = 0$

したがって、 $t = 1$ または $t = -2$ となります。

* $t = 1$ のとき、QはPと一致するので、接線は同じになります。

* $t = -2$ のとき、Qの座標は $(-2, (-2)^3 + 3(-2)^2 - 2(-2) + 1) = (-2, -8 + 12 + 4 + 1) = (-2, 9)$

また、接線の傾きは $f'(-2) = 3(-2)^2 + 6(-2) - 2 = 12 - 12 - 2 = -2$

したがって、接線 $l_2$ の方程式は $y - 9 = -2(x + 2)$

$y - 9 = -2x - 4$

$y = -2x + 5$

3. 最終的な答え

$y = -2x + 5$