与えられた積分を計算します。 積分は $\int \frac{2^x + x \cdot 4^x}{x \cdot 2^x} dx$ です。

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

積分は $\int \frac{2^x + x \cdot 4^x}{x \cdot 2^x} dx$ です。

2. 解き方の手順

まず、積分を分解します。

$\int \frac{2^x + x \cdot 4^x}{x \cdot 2^x} dx = \int \left( \frac{2^x}{x \cdot 2^x} + \frac{x \cdot 4^x}{x \cdot 2^x} \right) dx = \int \left( \frac{1}{x} + \frac{4^x}{2^x} \right) dx$

$4^x = (2^2)^x = 2^{2x} = (2^x)^2$ なので、

$\int \left( \frac{1}{x} + \frac{2^{2x}}{2^x} \right) dx = \int \left( \frac{1}{x} + 2^x \right) dx$

積分を計算します。

$\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C_1$

$\int 2^x dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C_2$

よって、

$\int \left( \frac{1}{x} + 2^x \right) dx = \ln |x| + \frac{2^x}{\ln 2} + C$

3. 最終的な答え

$\ln |x| + \frac{2^x}{\ln 2} + C$