関数 $f(x) = x^3 + 3x^2 - 2x + 1$ 上の点 $P(1, 3)$ が与えられています。関数 $f(x)$ 上の点 $Q$ から接線 $l_2$ を引き、その接線が点 $P$ を通る時、接線 $l_2$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 + 3x^2 - 2x + 1$ 上の点 $P(1, 3)$ が与えられています。関数 $f(x)$ 上の点 $Q$ から接線 $l_2$ を引き、その接線が点 $P$ を通る時、接線 $l_2$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数を求めます。

$f'(x) = 3x^2 + 6x - 2$

点 $Q$ の $x$ 座標を $t$ とすると、$Q(t, f(t))$ と表せます。点 $Q$ における接線 $l_2$ の傾きは $f'(t) = 3t^2 + 6t - 2$ です。

接線 $l_2$ の方程式は次のようになります。

$y - f(t) = f'(t)(x - t)$

$y - (t^3 + 3t^2 - 2t + 1) = (3t^2 + 6t - 2)(x - t)$

この接線が点 $P(1, 3)$ を通るので、$x = 1, y = 3$ を代入します。

$3 - (t^3 + 3t^2 - 2t + 1) = (3t^2 + 6t - 2)(1 - t)$

$3 - t^3 - 3t^2 + 2t - 1 = 3t^2 + 6t - 2 - 3t^3 - 6t^2 + 2t$

$2 - t^3 - 3t^2 + 2t = -3t^3 - 3t^2 + 8t - 2$

$2t^3 - 6t + 4 = 0$

$t^3 - 3t + 2 = 0$

$(t - 1)(t^2 + t - 2) = 0$

$(t - 1)(t - 1)(t + 2) = 0$

$(t - 1)^2(t + 2) = 0$

よって、$t = 1, -2$

$t = 1$ のとき、$Q = P$ となるので、$t = -2$ を考えます。

$t = -2$ のとき、$Q(-2, f(-2))$

$f(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 - 2(-2) + 1 = -8 + 12 + 4 + 1 = 9$

$Q(-2, 9)$

傾きは $f'(-2) = 3(-2)^2 + 6(-2) - 2 = 12 - 12 - 2 = -2$

接線 $l_2$ の方程式は

$y - 9 = -2(x + 2)$

$y = -2x - 4 + 9$

$y = -2x + 5$

3. 最終的な答え

$y = -2x + 5$