関数 $f(x) = x^3 + 3x^2 - 2x + 1$ 上の点 $P(1, 3)$ がある。$f(x)$ 上の点 $Q$ から法線 $l_2$ を引き、その法線 $l_2$ が点 $P$ を通る時の、点 $Q$ における接線 $l_2$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 + 3x^2 - 2x + 1$ 上の点 $P(1, 3)$ がある。$f(x)$ 上の点 $Q$ から法線 $l_2$ を引き、その法線 $l_2$ が点 $P$ を通る時の、点 $Q$ における接線 $l_2$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

1. $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 3x^2 + 6x - 2$

2. 点 $Q$ の $x$ 座標を $t$ とします。すると、点 $Q$ の座標は $(t, f(t))$ と表せます。点 $Q$ における $f(x)$ の接線の傾きは $f'(t)$ です。

$f'(t) = 3t^2 + 6t - 2$

3. 点 $Q$ における法線 $l_2$ の傾きは、接線の傾きの逆数の符号を反転させたものなので、$-\frac{1}{f'(t)} = -\frac{1}{3t^2 + 6t - 2}$ となります。

4. 法線 $l_2$ は点 $Q(t, f(t))$ を通り、傾きが $-\frac{1}{3t^2 + 6t - 2}$ なので、その方程式は次のようになります。

$y - f(t) = -\frac{1}{3t^2 + 6t - 2}(x - t)$

5. 法線 $l_2$ は点 $P(1, 3)$ を通るので、上記の式に $x = 1$ と $y = 3$ を代入します。

$3 - f(t) = -\frac{1}{3t^2 + 6t - 2}(1 - t)$

$3 - (t^3 + 3t^2 - 2t + 1) = -\frac{1 - t}{3t^2 + 6t - 2}$

$2 - t^3 - 3t^2 + 2t = \frac{t - 1}{3t^2 + 6t - 2}$

$(2 - t^3 - 3t^2 + 2t)(3t^2 + 6t - 2) = t - 1$

$(-t^3 - 3t^2 + 2t + 2)(3t^2 + 6t - 2) - (t - 1) = 0$

$-3t^5 - 15t^4 - 10t^3 + 10t^2 + 8t - 4 - t + 1 = 0$

$-3t^5 - 15t^4 - 10t^3 + 10t^2 + 7t - 3 = 0$

$3t^5 + 15t^4 + 10t^3 - 10t^2 - 7t + 3 = 0$

6. $t=1$ が解の一つであることは、$P$ が $f(x)$ 上の点であることからわかります。したがって、$t=1$ で割り切れるはずです。

$(t-1)(3t^4+18t^3+28t^2+18t-3) = 0$

7. $3t^4+18t^3+28t^2+18t-3 = 0$の解を求める。

$t\neq1$なので，これ以外の解を探す．

$t=0$の近くに解があると仮定し，近似解を求める．

8. 点Qのx座標の候補は、$t=1$ともう一つの値$t\approx0.1411$．

9. 問題は点Qにおける接線を求めている．点Qの座標を代入して接線の方程式を計算する．

$y = f'(t)(x-t) + f(t)$.

$f'(1) = 3(1)^2 + 6(1) - 2 = 7$. よって点P(1,3)における接線は，$y = 7(x-1)+3 = 7x - 4$．

1

0. $t=0.1411$を代入

$f(0.1411) = (0.1411)^3 + 3(0.1411)^2 - 2(0.1411) + 1 \approx 0.7311$

$f'(0.1411) = 3(0.1411)^2 + 6(0.1411) - 2 \approx -1.103$

接線の方程式：$y = f'(t)(x-t) + f(t)$

$y = -1.103 (x - 0.1411) + 0.7311$

$y = -1.103x + 0.1556 + 0.7311$

$y = -1.103x + 0.8867$

3. 最終的な答え

点Qにおける接線は $y=7x-4$ および $y = -1.103x + 0.8867$