$0 \le x \le 2\pi$ において、関数 $f(x) = \sqrt{2} \sin x - \sqrt{2} \cos x + 1 - 2 \sin x \cos x$ を考える。 (1) $t = \sin x - \cos x$ とおく。$t$ のとりうる値の範囲を求めよ。 (2) $f(x)$ を (1) で定義した $t$ を用いて表せ。 (3) $f(x)$ の最小値と最大値を求めよ。さらにそのときの $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$0 \le x \le 2\pi$ において、関数 $f(x) = \sqrt{2} \sin x - \sqrt{2} \cos x + 1 - 2 \sin x \cos x$ を考える。

(1) $t = \sin x - \cos x$ とおく。$t$ のとりうる値の範囲を求めよ。

(2) $f(x)$ を (1) で定義した $t$ を用いて表せ。

(3) $f(x)$ の最小値と最大値を求めよ。さらにそのときの $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $t = \sin x - \cos x$ のとりうる値の範囲を求める。

三角関数の合成を用いると、

$t = \sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4})$

$0 \le x \le 2\pi$ より、$-\frac{\pi}{4} \le x - \frac{\pi}{4} \le \frac{7\pi}{4}$

したがって、$-1 \le \sin(x - \frac{\pi}{4}) \le 1$

よって、$-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$

(2) $f(x)$ を $t$ を用いて表す。

$t = \sin x - \cos x$ より、

$t^2 = (\sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x - 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 - 2 \sin x \cos x$

$2 \sin x \cos x = 1 - t^2$

$f(x) = \sqrt{2} \sin x - \sqrt{2} \cos x + 1 - 2 \sin x \cos x = \sqrt{2} (\sin x - \cos x) + 1 - 2 \sin x \cos x = \sqrt{2} t + 1 - (1 - t^2) = \sqrt{2} t + t^2$

$f(x) = t^2 + \sqrt{2} t$

(3) $f(x)$ の最小値と最大値を求める。

$f(x) = t^2 + \sqrt{2} t = (t + \frac{\sqrt{2}}{2})^2 - \frac{1}{2}$

$-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$

$t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、最小値 $f(x) = -\frac{1}{2}$

$t = \sqrt{2}$ のとき、最大値 $f(x) = (\sqrt{2})^2 + \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 + 2 = 4$

最小値 $-\frac{1}{2}$ のとき、 $t = \sin x - \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin(x - \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2}$

$x - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$

$x = \frac{7\pi}{6} + \frac{\pi}{4} = \frac{14\pi + 3\pi}{12} = \frac{17\pi}{12}$

$x = \frac{11\pi}{6} + \frac{\pi}{4} = \frac{22\pi + 3\pi}{12} = \frac{25\pi}{12}$

最大値 4 のとき、 $t = \sin x - \cos x = \sqrt{2}$

$\sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}$

$\sin(x - \frac{\pi}{4}) = 1$

$x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$

$x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi + \pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$

(2) $f(x) = t^2 + \sqrt{2} t$

(3) 最小値: $-\frac{1}{2}$ ($x = \frac{17\pi}{12}, \frac{25\pi}{12}$), 最大値: $4$ ($x = \frac{3\pi}{4}$)