すべての正の実数 $x$ に対して $\sqrt{x} + 2 \le k\sqrt{x+1}$ が成り立つような実数 $k$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

すべての正の実数 $x$ に対して $\sqrt{x} + 2 \le k\sqrt{x+1}$ が成り立つような実数 $k$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を変形します。$x > 0$ より $\sqrt{x+1} > 0$ なので、不等式の両辺を $\sqrt{x+1}$ で割ることができます。

$\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x+1}} \le k$

ここで、$f(x) = \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x+1}}$ とおきます。すべての正の実数 $x$ に対して $f(x) \le k$ が成り立つためには、$k$ は $f(x)$ の最大値以上である必要があります。つまり、$k$ の最小値は $f(x)$ の最大値に等しくなります。

$f(x)$ の最大値を求めるために、$f(x)$ の導関数を計算します。

$f'(x) = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\sqrt{x+1} - (\sqrt{x}+2)\frac{1}{2\sqrt{x+1}}}{x+1} = \frac{\frac{x+1}{2\sqrt{x}\sqrt{x+1}} - \frac{\sqrt{x}+2}{2\sqrt{x+1}}}{x+1} = \frac{x+1 - (\sqrt{x}+2)\sqrt{x}}{2\sqrt{x}(x+1)^{3/2}} = \frac{x+1 - (x+2\sqrt{x})}{2\sqrt{x}(x+1)^{3/2}} = \frac{1 - 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}(x+1)^{3/2}}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めると、

$1 - 2\sqrt{x} = 0$ より $\sqrt{x} = \frac{1}{2}$ なので、$x = \frac{1}{4}$ です。

$x < \frac{1}{4}$ のとき $f'(x) > 0$ で、$x > \frac{1}{4}$ のとき $f'(x) < 0$ なので、$x = \frac{1}{4}$ で $f(x)$ は最大値を取ります。

$f(\frac{1}{4}) = \frac{\sqrt{\frac{1}{4}} + 2}{\sqrt{\frac{1}{4} + 1}} = \frac{\frac{1}{2} + 2}{\sqrt{\frac{5}{4}}} = \frac{\frac{5}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$

したがって、$k$ の最小値は $\sqrt{5}$ です。

3. 最終的な答え

$\sqrt{5}$