すべての正の実数 $x$ に対して、不等式 $\sqrt{x+2} \le k\sqrt{x+1}$ が成り立つような実数 $k$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

すべての正の実数 $x$ に対して、不等式 $\sqrt{x+2} \le k\sqrt{x+1}$ が成り立つような実数 $k$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、不等式 $\sqrt{x+2} \le k\sqrt{x+1}$ を $k$ について解きます。

$x$ は正の実数なので、$\sqrt{x+1} > 0$ です。したがって、不等式の両辺を $\sqrt{x+1}$ で割ることができます。

$$k \ge \frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x+1}}$$

ここで、関数 $f(x) = \frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x+1}}$ ($x>0$) を考えます。$f(x)$ の最大値を求めることができれば、$k$ の最小値が求まります。

$f(x)$ を変形します。

$$f(x) = \sqrt{\frac{x+2}{x+1}} = \sqrt{1 + \frac{1}{x+1}}$$

$x$ は正の実数なので、$x+1$ は正であり、$x>0$ のとき、$x+1$ は増加関数です。したがって、$\frac{1}{x+1}$ は減少関数となります。

ゆえに、$1+\frac{1}{x+1}$ も減少関数であり、$\sqrt{1+\frac{1}{x+1}}$ も減少関数です。

したがって、 $f(x)$ は減少関数なので、$x$ が最小のとき $f(x)$ は最大になります。$x$ は正の実数なので、$x$ が限りなく $0$ に近づくときに $f(x)$ は最大になります。

$$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \sqrt{1 + \frac{1}{x+1}} = \sqrt{1 + \frac{1}{0+1}} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$$

したがって、すべての正の実数 $x$ に対して $\sqrt{x+2} \le k\sqrt{x+1}$ が成り立つためには、$k \ge \sqrt{2}$ でなければなりません。

よって、$k$ の最小値は $\sqrt{2}$ です。

3. 最終的な答え

$\sqrt{2}$