$0 \le x \le 2\pi$ において、関数 $f(x) = \sqrt{2}\sin{x} - \sqrt{2}\cos{x} + 1 - 2\sin{x}\cos{x}$ を考える。 (1) $t = \sin{x} - \cos{x}$ とおくとき、$t$ のとりうる値の範囲を求める。 (2) $f(x)$ を (1) で定義した $t$ を用いて表す。 (3) $f(x)$ の最小値と最大値を求め、さらにそのときの $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

$0 \le x \le 2\pi$ において、関数 $f(x) = \sqrt{2}\sin{x} - \sqrt{2}\cos{x} + 1 - 2\sin{x}\cos{x}$ を考える。

(1) $t = \sin{x} - \cos{x}$ とおくとき、$t$ のとりうる値の範囲を求める。

(2) $f(x)$ を (1) で定義した $t$ を用いて表す。

(3) $f(x)$ の最小値と最大値を求め、さらにそのときの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $t = \sin{x} - \cos{x}$ を変形する。

三角関数の合成を用いると、

$t = \sqrt{2}\sin{(x-\frac{\pi}{4})}$

$0 \le x \le 2\pi$ より、 $-\frac{\pi}{4} \le x - \frac{\pi}{4} \le \frac{7\pi}{4}$

したがって、$-1 \le \sin{(x-\frac{\pi}{4})} \le 1$ であるから、

$-\sqrt{2} \le \sqrt{2}\sin{(x-\frac{\pi}{4})} \le \sqrt{2}$

よって、$-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$

(2) $f(x)$ を $t$ で表す。

$t = \sin{x} - \cos{x}$ より、

$t^2 = (\sin{x} - \cos{x})^2 = \sin^2{x} - 2\sin{x}\cos{x} + \cos^2{x} = 1 - 2\sin{x}\cos{x}$

したがって、$2\sin{x}\cos{x} = 1 - t^2$

$f(x) = \sqrt{2}(\sin{x} - \cos{x}) + 1 - 2\sin{x}\cos{x} = \sqrt{2}t + 1 - (1 - t^2) = t^2 + \sqrt{2}t$

よって、$f(x) = t^2 + \sqrt{2}t$

(3) $f(x)$ の最小値と最大値を求める。

$f(x) = t^2 + \sqrt{2}t = (t + \frac{\sqrt{2}}{2})^2 - \frac{1}{2}$

$-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$ である。

$t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、最小値 $-\frac{1}{2}$ をとる。

$t = \sqrt{2}$ のとき、最大値 $2 + 2 = 4$ をとる。

$t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、$\sin{x} - \cos{x} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sqrt{2}\sin{(x-\frac{\pi}{4})} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin{(x-\frac{\pi}{4})} = -\frac{1}{2}$

$x-\frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$

$x = \frac{17\pi}{12}, \frac{25\pi}{12}$

$t = \sqrt{2}$ のとき、$\sin{x} - \cos{x} = \sqrt{2}$

$\sqrt{2}\sin{(x-\frac{\pi}{4})} = \sqrt{2}$

$\sin{(x-\frac{\pi}{4})} = 1$

$x-\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$

$x = \frac{3\pi}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$

(2) $f(x) = t^2 + \sqrt{2}t$

(3) 最小値: $-\frac{1}{2}$ (このとき $x = \frac{17\pi}{12}, \frac{25\pi}{12}$), 最大値: $4$ (このとき $x = \frac{3\pi}{4}$)