## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた3つの極限の値を求めます。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin x}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan x}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$

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2. 解き方の手順

**(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin x}$**

基本的な極限の公式 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用します。

$\sin 3x$ と $\sin x$ をそれぞれ $3x$ と $x$ で割って、全体に $3$ をかけます。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3x}{\frac{\sin x}{x} \cdot x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 3x}{3x}}{\frac{\sin x}{x}} \cdot 3$

$x \to 0$ のとき、$3x \to 0$ なので、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} = 1$。 また、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$。

よって、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin x} = \frac{1}{1} \cdot 3 = 3$

**(2) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan x}$**

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ であることを利用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{\frac{\sin x}{\cos x}} = \lim_{x \to 0} \frac{x \cos x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} \cdot \cos x$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ より $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$。 また、$\lim_{x \to 0} \cos x = \cos 0 = 1$

よって、$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan x} = 1 \cdot 1 = 1$

**(3) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$**

これは指数関数の微分係数の定義そのものです。$f(x) = e^x$ とすると、$f'(x) = e^x$ なので、$f'(0) = e^0 = 1$。

したがって、$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$

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3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin x} = 3$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan x} = 1$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$