与えられた関数 $f(x)$ に対して、導関数の定義に従って導関数 $f'(x)$ を求める問題です。 (1) $f(x) = 2x$ (2) $f(x) = -x^2$ (3) $f(x) = -2$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ に対して、導関数の定義に従って導関数 $f'(x)$ を求める問題です。

(1) $f(x) = 2x$

(2) $f(x) = -x^2$

(3) $f(x) = -2$

2. 解き方の手順

導関数の定義は次の通りです。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

(1) $f(x) = 2x$の場合：

$f(x+h) = 2(x+h) = 2x + 2h$

$f(x+h) - f(x) = (2x + 2h) - 2x = 2h$

$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{2h}{h} = 2$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} 2 = 2$

(2) $f(x) = -x^2$の場合：

$f(x+h) = -(x+h)^2 = -(x^2 + 2xh + h^2) = -x^2 - 2xh - h^2$

$f(x+h) - f(x) = (-x^2 - 2xh - h^2) - (-x^2) = -2xh - h^2$

$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{-2xh - h^2}{h} = -2x - h$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} (-2x - h) = -2x$

(3) $f(x) = -2$の場合：

$f(x+h) = -2$

$f(x+h) - f(x) = -2 - (-2) = 0$

$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{0}{h} = 0$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} 0 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = 2$

(2) $f'(x) = -2x$

(3) $f'(x) = 0$