与えられた関数を微分する問題です。問題は4つあります。 (1) $y = \frac{2}{\sqrt[3]{x}} + \frac{4}{\sqrt[3]{x^2}} - \frac{6}{\sqrt[4]{x}}$ (2) $y = \sqrt{x}(x^2 - \sqrt{x} + \frac{2}{x})$ (3) $y = \frac{1}{3}(x^3 - 1 + \frac{1}{x})$ (4) $y = \frac{x^2 - 2\sqrt[3]{x} + 3x}{\sqrt{x}}$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。問題は4つあります。

(1) $y = \frac{2}{\sqrt[3]{x}} + \frac{4}{\sqrt[3]{x^2}} - \frac{6}{\sqrt[4]{x}}$

(2) $y = \sqrt{x}(x^2 - \sqrt{x} + \frac{2}{x})$

(3) $y = \frac{1}{3}(x^3 - 1 + \frac{1}{x})$

(4) $y = \frac{x^2 - 2\sqrt[3]{x} + 3x}{\sqrt{x}}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{2}{\sqrt[3]{x}} + \frac{4}{\sqrt[3]{x^2}} - \frac{6}{\sqrt[4]{x}}$ を微分します。まず、指数表記に直します。

$y = 2x^{-\frac{1}{3}} + 4x^{-\frac{2}{3}} - 6x^{-\frac{1}{4}}$

微分すると、

$y' = 2(-\frac{1}{3})x^{-\frac{4}{3}} + 4(-\frac{2}{3})x^{-\frac{5}{3}} - 6(-\frac{1}{4})x^{-\frac{5}{4}}$

$y' = -\frac{2}{3}x^{-\frac{4}{3}} - \frac{8}{3}x^{-\frac{5}{3}} + \frac{3}{2}x^{-\frac{5}{4}}$

$y' = -\frac{2}{3x^{\frac{4}{3}}} - \frac{8}{3x^{\frac{5}{3}}} + \frac{3}{2x^{\frac{5}{4}}}$

(2) $y = \sqrt{x}(x^2 - \sqrt{x} + \frac{2}{x})$ を微分します。まず、式を展開します。

$y = x^{\frac{1}{2}}(x^2 - x^{\frac{1}{2}} + 2x^{-1})$

$y = x^{\frac{5}{2}} - x + 2x^{-\frac{1}{2}}$

微分すると、

$y' = \frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}} - 1 + 2(-\frac{1}{2})x^{-\frac{3}{2}}$

$y' = \frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}} - 1 - x^{-\frac{3}{2}}$

$y' = \frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}} - 1 - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

(3) $y = \frac{1}{3}(x^3 - 1 + \frac{1}{x})$ を微分します。

$y = \frac{1}{3}(x^3 - 1 + x^{-1})$

微分すると、

$y' = \frac{1}{3}(3x^2 - 0 - x^{-2})$

$y' = x^2 - \frac{1}{3x^2}$

(4) $y = \frac{x^2 - 2\sqrt[3]{x} + 3x}{\sqrt{x}}$ を微分します。まず、式を整理します。

$y = \frac{x^2 - 2x^{\frac{1}{3}} + 3x}{x^{\frac{1}{2}}}$

$y = \frac{x^2}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3x}{x^{\frac{1}{2}}}$

$y = x^{\frac{3}{2}} - 2x^{-\frac{1}{6}} + 3x^{\frac{1}{2}}$

微分すると、

$y' = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} - 2(-\frac{1}{6})x^{-\frac{7}{6}} + 3(\frac{1}{2})x^{-\frac{1}{2}}$

$y' = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3}x^{-\frac{7}{6}} + \frac{3}{2}x^{-\frac{1}{2}}$

$y' = \frac{3}{2}\sqrt{x} + \frac{1}{3x^{\frac{7}{6}}} + \frac{3}{2\sqrt{x}}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = -\frac{2}{3x^{\frac{4}{3}}} - \frac{8}{3x^{\frac{5}{3}}} + \frac{3}{2x^{\frac{5}{4}}}$

(2) $y' = \frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}} - 1 - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

(3) $y' = x^2 - \frac{1}{3x^2}$

(4) $y' = \frac{3}{2}\sqrt{x} + \frac{1}{3x^{\frac{7}{6}}} + \frac{3}{2\sqrt{x}}$