関数 $y = \frac{2}{\sqrt{x^3}} + \frac{4}{\sqrt[3]{x}} - \frac{6}{\sqrt[4]{x}}$ を微分して、$dy/dx$ を求めます。

はい、承知いたしました。画像の数学の問題を解いていきます。今回は、(1)の問題を解きます。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{2}{\sqrt{x^3}} + \frac{4}{\sqrt[3]{x}} - \frac{6}{\sqrt[4]{x}}$ を微分して、$dy/dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、関数を指数の形で書き換えます。

$y = \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{6}{x^{\frac{1}{4}}}$

$y = 2x^{-\frac{3}{2}} + 4x^{-\frac{1}{3}} - 6x^{-\frac{1}{4}}$

次に、各項を微分します。

$\frac{d}{dx} (x^n) = nx^{n-1}$ の公式を使います。

$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot (-\frac{3}{2}) x^{-\frac{3}{2}-1} + 4 \cdot (-\frac{1}{3}) x^{-\frac{1}{3}-1} - 6 \cdot (-\frac{1}{4}) x^{-\frac{1}{4}-1}$

$\frac{dy}{dx} = -3 x^{-\frac{5}{2}} - \frac{4}{3} x^{-\frac{4}{3}} + \frac{3}{2} x^{-\frac{5}{4}}$

$\frac{dy}{dx} = -3 \frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} - \frac{4}{3} \frac{1}{x^{\frac{4}{3}}} + \frac{3}{2} \frac{1}{x^{\frac{5}{4}}}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{\sqrt{x^5}} - \frac{4}{3\sqrt[3]{x^4}} + \frac{3}{2\sqrt[4]{x^5}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{\sqrt{x^5}} - \frac{4}{3\sqrt[3]{x^4}} + \frac{3}{2\sqrt[4]{x^5}}$

あるいは

$\frac{dy}{dx} = -3 x^{-\frac{5}{2}} - \frac{4}{3} x^{-\frac{4}{3}} + \frac{3}{2} x^{-\frac{5}{4}}$