三角関数の合成に関する問題です。与えられた式 $\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta$ を合成し、合成後の式と$\theta$の範囲から$\theta$の値を求め、大小関係を比較します。

1. 問題の内容

三角関数の合成に関する問題です。与えられた式 $\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta$ を合成し、合成後の式と$\theta$の範囲から$\theta$の値を求め、大小関係を比較します。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta$ を三角関数の合成を用いて変形します。

$\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta + \frac{1}{2}\cos\theta \right)$

ここで、$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ なので、

$\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta = 2 \left( \cos\frac{\pi}{6}\sin\theta + \sin\frac{\pi}{6}\cos\theta \right) = 2\sin\left( \theta + \frac{\pi}{6} \right)$

よって、ケ = 2、コ = 6　となります。

したがって、$\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{2}$ を満たすとき、

$2\sin\left( \theta + \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2}$

$\sin\left( \theta + \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{4}$　となるので、エ = 1、オ = 4　となります。

$0 \le \theta < 2\pi$ において、$\sin\left(\theta + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{4}$ を満たす$\theta$を$\beta_1, \beta_2$ （$\beta_1 < \beta_2$）とすると、

$\sin\left( \theta + \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{4}$

$\theta + \frac{\pi}{6} = \arcsin\frac{1}{4}, \pi - \arcsin\frac{1}{4}$

$\beta_1 = \arcsin\frac{1}{4} - \frac{\pi}{6}$

$\beta_2 = \pi - \arcsin\frac{1}{4} - \frac{\pi}{6}$

$\beta_1 + \beta_2 = \arcsin\frac{1}{4} - \frac{\pi}{6} + \pi - \arcsin\frac{1}{4} - \frac{\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$

ス = 2、セ = 3 となります。

次に、$2\sin\left( \theta + \frac{\pi}{6} \right) = 1$ を満たす$\theta$を$\alpha_1, \alpha_2$ （$\alpha_1 < \alpha_2$）とします。

$\sin\left( \theta + \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2}$

$\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

$\theta = 0, \frac{2\pi}{3}$

したがって、$\alpha_1 = 0, \alpha_2 = \frac{2\pi}{3}$。

また、$\sin\left( \theta + \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{4}$ を満たす$\beta_1, \beta_2$ について、

$\beta_1 \approx - \frac{\pi}{6} + 0.25 < 0$　なので、$0 < \beta_1$ より　$\alpha_1 < \beta_1$

$\beta_2 \approx \pi - \frac{\pi}{6} - 0.25 > \frac{2\pi}{3}$ なので　$\alpha_2 < \beta_2$

よって、$\alpha_1 < \beta_1 < \alpha_2 < \beta_2$ になります。

3. 最終的な答え

ケ = 2

コ = 6

エ = 1

オ = 4

ス = 2

セ = 3

ソ = 0