関数 $f(x) = x^2 + ax + 6$ があり、$f'(1) = -2$ である。放物線 $y = f(x)$ 上の点 $(3, f(3))$ における接線を $l$ とする。 (1) $a$ の値を求め、接線 $l$ の方程式を求める。 (2) 放物線 $y = f(x)$ と $x$ 軸, $y$ 軸, および接線 $l$ で囲まれた図形のうち $y \ge 0$ の部分の面積 $S$ を求める。また、放物線 $y = f(x)$ と $x$ 軸, および2直線 $x=k$, $x=k+3$ で囲まれた部分の面積が $8S$ となるような定数 $k$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 + ax + 6$ があり、$f'(1) = -2$ である。放物線 $y = f(x)$ 上の点 $(3, f(3))$ における接線を $l$ とする。

(1) $a$ の値を求め、接線 $l$ の方程式を求める。

(2) 放物線 $y = f(x)$ と $x$ 軸, $y$ 軸, および接線 $l$ で囲まれた図形のうち $y \ge 0$ の部分の面積 $S$ を求める。また、放物線 $y = f(x)$ と $x$ 軸, および2直線 $x=k$, $x=k+3$ で囲まれた部分の面積が $8S$ となるような定数 $k$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、$f(x) = x^2 + ax + 6$ を微分して、$f'(x)$ を求める。

$f'(x) = 2x + a$

$f'(1) = 2(1) + a = 2 + a = -2$ より、

$a = -4$

したがって、$f(x) = x^2 - 4x + 6$

次に、点 $(3, f(3))$ における接線を求める。

$f(3) = 3^2 - 4(3) + 6 = 9 - 12 + 6 = 3$

$f'(3) = 2(3) - 4 = 6 - 4 = 2$

接線の方程式は、$y - f(3) = f'(3)(x - 3)$ より、

$y - 3 = 2(x - 3)$

$y = 2x - 6 + 3$

$y = 2x - 3$

(2) 放物線 $y = x^2 - 4x + 6$ と $x$ 軸の交点を求める。

$x^2 - 4x + 6 = 0$

判別式 $D = (-4)^2 - 4(1)(6) = 16 - 24 = -8 < 0$ であるから、放物線は $x$ 軸と交わらない。

$y = f(x) = x^2-4x+6 = (x-2)^2+2 > 0$

接線 $l$ は $y = 2x - 3$ である。

放物線と接線、$x$ 軸、$y$ 軸で囲まれた面積 $S$ を求める。

接線と $x$ 軸との交点は $2x - 3 = 0$ より $x = \frac{3}{2}$

接線と $y$ 軸との交点は $y = -3$

$S = \int_0^{3/2} (x^2 - 4x + 6)dx - \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} \times 3$

$S = [\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 6x]_0^{3/2} - \frac{9}{4}$

$S = \frac{1}{3}(\frac{3}{2})^3 - 2(\frac{3}{2})^2 + 6(\frac{3}{2}) - \frac{9}{4}$

$S = \frac{1}{3}(\frac{27}{8}) - 2(\frac{9}{4}) + 9 - \frac{9}{4} = \frac{9}{8} - \frac{9}{2} + 9 - \frac{9}{4}$

$S = \frac{9 - 36 + 72 - 18}{8} = \frac{27}{8}$

放物線 $y = f(x)$ と $x$ 軸、および2直線 $x = k$, $x = k+3$ で囲まれた部分の面積は

$\int_k^{k+3} (x^2 - 4x + 6) dx = [\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 6x]_k^{k+3} = \frac{1}{3}(k+3)^3 - 2(k+3)^2 + 6(k+3) - (\frac{1}{3}k^3 - 2k^2 + 6k) = 8S = 8(\frac{27}{8}) = 27$

$\frac{1}{3}(k^3 + 9k^2 + 27k + 27) - 2(k^2 + 6k + 9) + 6(k+3) - \frac{1}{3}k^3 + 2k^2 - 6k = 27$

$\frac{1}{3}k^3 + 3k^2 + 9k + 9 - 2k^2 - 12k - 18 + 6k + 18 - \frac{1}{3}k^3 + 2k^2 - 6k = 27$

$3k^2 - 3k + 9 = 27$

$3k^2 - 3k - 18 = 0$

$k^2 - k - 6 = 0$

$(k - 3)(k + 2) = 0$

$k = 3, -2$

3. 最終的な答え

(1) $a = -4$, 接線の方程式は $y = 2x - 3$

(2) $S = \frac{27}{8}$, $k = \frac{1 \pm \sqrt{97}}{2}$ではないため, $k = 3, -2$.