(6) $\sqrt{3} \sin \theta - \cos \theta$ を $r \sin(\theta + \alpha)$ の形に変形する問題です。

1. 問題の内容

(6) $\sqrt{3} \sin \theta - \cos \theta$ を $r \sin(\theta + \alpha)$ の形に変形する問題です。

2. 解き方の手順

$\sqrt{3} \sin \theta - \cos \theta$ を合成します。

$r \sin(\theta + \alpha) = r (\sin \theta \cos \alpha + \cos \theta \sin \alpha) = (r \cos \alpha) \sin \theta + (r \sin \alpha) \cos \theta$

これと $\sqrt{3} \sin \theta - \cos \theta$ を比較すると、

$r \cos \alpha = \sqrt{3}$

$r \sin \alpha = -1$

両辺を2乗して足すと、

$r^2 \cos^2 \alpha + r^2 \sin^2 \alpha = (\sqrt{3})^2 + (-1)^2$

$r^2 (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = 3 + 1$

$r^2 = 4$

$r = 2$

$\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin \alpha = -\frac{1}{2}$

したがって、$\alpha = -\frac{\pi}{6}$

よって、

$\sqrt{3} \sin \theta - \cos \theta = 2 \sin (\theta - \frac{\pi}{6})$

3. 最終的な答え

$2 \sin (\theta - \frac{\pi}{6})$