画像に記載されている複数の微分問題のうち、以下の2問を解きます。 (8) $y = \frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}$ (4) $y = \sqrt{2+x^2}$ (演習書 問3.16)

1. 問題の内容

画像に記載されている複数の微分問題のうち、以下の2問を解きます。

(8) $y = \frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}$

(4) $y = \sqrt{2+x^2}$ (演習書 問3.16)

2. 解き方の手順

**(8) $y = \frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}$**

商の微分公式 $\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$ を用います。

$f(x) = 1 - \sqrt{x}$ と $g(x) = 1 + \sqrt{x}$ とおきます。

$f'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

したがって、

$y' = \frac{-\frac{1}{2\sqrt{x}}(1+\sqrt{x}) - (1-\sqrt{x})\frac{1}{2\sqrt{x}}}{(1+\sqrt{x})^2}$

$y' = \frac{-\frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2}}{(1+\sqrt{x})^2}$

$y' = \frac{-\frac{1}{\sqrt{x}}}{(1+\sqrt{x})^2}$

$y' = \frac{-1}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})^2}$

**(4) $y = \sqrt{2+x^2}$ (演習書 問3.16)**

合成関数の微分を行います。$u = 2+x^2$ とおくと、$y = \sqrt{u} = u^{\frac{1}{2}}$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$

$\frac{du}{dx} = 2x$

したがって、

$y' = \frac{1}{2\sqrt{2+x^2}} \cdot 2x$

$y' = \frac{x}{\sqrt{2+x^2}}$

3. 最終的な答え

(8) $y' = \frac{-1}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})^2}$

(4) $y' = \frac{x}{\sqrt{2+x^2}}$