4つの独立な変数 $B, A, C, H$ を持つ4変数関数 $J[B, A, C, H]$ が与えられており、その全微分表現が $dJ = DdB - EdA + FdC - GdH$ である。このとき、以下の4つの選択肢の中から正しいものを選ぶ問題。 (1) $\frac{\partial J}{\partial D} = B$ (2) $\frac{\partial J}{\partial A} = -E$ (3) $\frac{\partial J}{\partial C} = -F$ (4) $\frac{\partial J}{\partial G} = -H$

1. 問題の内容

4つの独立な変数 $B, A, C, H$ を持つ4変数関数 $J[B, A, C, H]$ が与えられており、その全微分表現が $dJ = DdB - EdA + FdC - GdH$ である。このとき、以下の4つの選択肢の中から正しいものを選ぶ問題。

(1) $\frac{\partial J}{\partial D} = B$

(2) $\frac{\partial J}{\partial A} = -E$

(3) $\frac{\partial J}{\partial C} = -F$

(4) $\frac{\partial J}{\partial G} = -H$

2. 解き方の手順

全微分の定義から、各変数の偏微分係数は以下のようになる。

$dJ = \frac{\partial J}{\partial B}dB + \frac{\partial J}{\partial A}dA + \frac{\partial J}{\partial C} dC + \frac{\partial J}{\partial H}dH$

与えられた全微分表現と比較すると、以下の関係が得られる。

$\frac{\partial J}{\partial B} = D$

$\frac{\partial J}{\partial A} = -E$

$\frac{\partial J}{\partial C} = F$

$\frac{\partial J}{\partial H} = -G$

選択肢と上記の偏微分係数を確認する。

(1) $\frac{\partial J}{\partial D} = B$ は明らかに違う。

(2) $\frac{\partial J}{\partial A} = -E$ は正しい。

(3) $\frac{\partial J}{\partial C} = -F$ は $\frac{\partial J}{\partial C} = F$ であるため、違う。

(4) $\frac{\partial J}{\partial G} = -H$ は明らかに違う。

3. 最終的な答え

(2) $\frac{\partial J}{\partial A} = -E$