$n$ は3以上の自然数とする。$I_n = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx$ について、以下の問いに答えよ。 (1) $I_3$ と $I_4$ を求めよ。 (2) $I_n$ を $n$ と $I_{n-2}$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

$n$ は3以上の自然数とする。$I_n = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx$ について、以下の問いに答えよ。

(1) $I_3$ と $I_4$ を求めよ。

(2) $I_n$ を $n$ と $I_{n-2}$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) $I_3$ を計算する。

$I_3 = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^3 x \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan x (\tan^2 x) \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan x (\frac{1}{\cos^2 x} - 1) \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan x}{\cos^2 x} \, dx - \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan x \, dx$

ここで、$u = \tan x$ とおくと、$du = \frac{1}{\cos^2 x} \, dx$ である。

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan x}{\cos^2 x} \, dx = \int_0^1 u \, du = \left[ \frac{u^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{2}$

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan x \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = [-\log|\cos x|]_0^{\frac{\pi}{4}} = -\log(\frac{1}{\sqrt{2}}) + \log(1) = -\log(2^{-\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} \log 2$

よって、$I_3 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \log 2 = \frac{1}{2}(1-\log 2)$

次に、$I_4$ を計算する。

$I_4 = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^4 x \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^2 x (\tan^2 x) \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^2 x (\frac{1}{\cos^2 x} - 1) \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan^2 x}{\cos^2 x} \, dx - \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^2 x \, dx$

ここで、$u = \tan x$ とおくと、$du = \frac{1}{\cos^2 x} \, dx$ である。

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan^2 x}{\cos^2 x} \, dx = \int_0^1 u^2 \, du = \left[ \frac{u^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3}$

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^2 x \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\frac{1}{\cos^2 x} - 1) \, dx = [\tan x - x]_0^{\frac{\pi}{4}} = \tan(\frac{\pi}{4}) - \frac{\pi}{4} - (\tan 0 - 0) = 1 - \frac{\pi}{4}$

よって、$I_4 = \frac{1}{3} - (1 - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{3} - 1 + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} - \frac{2}{3}$

(2) $I_n$ を $n$ と $I_{n-2}$ を用いて表す。

$I_n = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^{n-2} x \tan^2 x \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^{n-2} x (\frac{1}{\cos^2 x} - 1) \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan^{n-2} x}{\cos^2 x} \, dx - \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^{n-2} x \, dx$

ここで、$u = \tan x$ とおくと、$du = \frac{1}{\cos^2 x} \, dx$ である。

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan^{n-2} x}{\cos^2 x} \, dx = \int_0^1 u^{n-2} \, du = \left[ \frac{u^{n-1}}{n-1} \right]_0^1 = \frac{1}{n-1}$

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^{n-2} x \, dx = I_{n-2}$

よって、$I_n = \frac{1}{n-1} - I_{n-2}$

3. 最終的な答え

(1)

$I_3 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\log 2$

$I_4 = \frac{\pi}{4} - \frac{2}{3}$

(2)

$I_n = \frac{1}{n-1} - I_{n-2}$