関数 $f(x) = \int_{0}^{x} (1 + \cos t) \sin t dt$ ($0 < x < 4\pi$) の極値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \int_{0}^{x} (1 + \cos t) \sin t dt$ ($0 < x < 4\pi$) の極値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を微分して、$f'(x)$ を求める。微分の積分区間への適用（ライプニッツの法則、ここでは特に簡単な形）より、

$$f'(x) = (1 + \cos x) \sin x$$

極値を求めるためには、$f'(x) = 0$ となる $x$ を探す。

$f'(x) = (1 + \cos x) \sin x = 0$

$1 + \cos x = 0$ または $\sin x = 0$

$1 + \cos x = 0$ のとき、$\cos x = -1$ より、$x = \pi, 3\pi$。

$\sin x = 0$ のとき、$x = \pi, 2\pi, 3\pi$。

したがって、$f'(x) = 0$ となるのは、$x = \pi, 2\pi, 3\pi$ のときである。

次に、$f''(x)$ を求める。

$$f''(x) = \frac{d}{dx} ((1 + \cos x) \sin x) = \frac{d}{dx} (\sin x + \cos x \sin x) = \cos x + \cos^2 x - \sin^2 x = \cos x + \cos^2 x - (1 - \cos^2 x) = \cos x + 2\cos^2 x - 1$$

$f''(\pi) = \cos \pi + 2\cos^2 \pi - 1 = -1 + 2(-1)^2 - 1 = -1 + 2 - 1 = 0$

$f''(2\pi) = \cos 2\pi + 2\cos^2 2\pi - 1 = 1 + 2(1)^2 - 1 = 1 + 2 - 1 = 2 > 0$

$f''(3\pi) = \cos 3\pi + 2\cos^2 3\pi - 1 = -1 + 2(-1)^2 - 1 = -1 + 2 - 1 = 0$

$f''(\pi) = 0$ および $f''(3\pi) = 0$ なので、$f''(x)$ では極値を判定できない。

$x = 2\pi$ のとき、$f''(2\pi) = 2 > 0$ なので、$x = 2\pi$ で極小値をとる。

次に、$x = \pi$ と $x = 3\pi$ の前後での $f'(x)$ の符号を調べる。

$0 < x < 4\pi$ であることに注意する。

$0 < x < \pi$ のとき、$\sin x > 0$, $1 + \cos x > 0$ なので、$f'(x) > 0$。

$\pi < x < 2\pi$ のとき、$\sin x < 0$, $1 + \cos x > 0$ なので、$f'(x) < 0$。

よって、$x = \pi$ で極大値をとる。

$2\pi < x < 3\pi$ のとき、$\sin x < 0$, $1 + \cos x > 0$ なので、$f'(x) < 0$。

$3\pi < x < 4\pi$ のとき、$\sin x > 0$, $1 + \cos x > 0$ なので、$f'(x) > 0$。

よって、$x = 3\pi$ で極小値をとる。

$f(\pi) = \int_{0}^{\pi} (1 + \cos t) \sin t dt = \int_{0}^{\pi} (\sin t + \cos t \sin t) dt = [-\cos t + \frac{1}{2} \sin^2 t]_{0}^{\pi} = (-\cos \pi + \frac{1}{2} \sin^2 \pi) - (-\cos 0 + \frac{1}{2} \sin^2 0) = (-(-1) + 0) - (-1 + 0) = 1 + 1 = 2$

$f(2\pi) = \int_{0}^{2\pi} (1 + \cos t) \sin t dt = [-\cos t + \frac{1}{2} \sin^2 t]_{0}^{2\pi} = (-\cos 2\pi + \frac{1}{2} \sin^2 2\pi) - (-\cos 0 + \frac{1}{2} \sin^2 0) = (-1 + 0) - (-1 + 0) = -1 + 1 = 0$

$f(3\pi) = \int_{0}^{3\pi} (1 + \cos t) \sin t dt = [-\cos t + \frac{1}{2} \sin^2 t]_{0}^{3\pi} = (-\cos 3\pi + \frac{1}{2} \sin^2 3\pi) - (-\cos 0 + \frac{1}{2} \sin^2 0) = (-(-1) + 0) - (-1 + 0) = 1 + 1 = 2$

3. 最終的な答え

$x = \pi$ で極大値 $2$

$x = 2\pi$ で極小値 $0$

$x = 3\pi$ で極大値 $2$

誤りがありました。$x=3\pi$で極小値を取ります。

$x = \pi$ で極大値 $2$

$x = 2\pi$ で極小値 $0$

$x = 3\pi$ で極小値 $2$

最終的な答え：

$x = \pi$ で極大値 $2$

$x = 2\pi$ で極小値 $0$

$x = 3\pi$ で極大値 $2$は誤り。$x = 3\pi$で極小値$2$を取る。

$f(x) = \int_0^x (1+\cos t)\sin t dt$.

$f'(x) = (1+\cos x)\sin x$.

$f'(x) = 0 \implies \sin x = 0 \text{ or } \cos x = -1$.

$\sin x = 0 \implies x = \pi, 2\pi, 3\pi$.

$\cos x = -1 \implies x = \pi, 3\pi$.

Therefore, $x = \pi, 2\pi, 3\pi$.

$f''(x) = \cos x + 2\cos^2 x - 1$.

$f''(\pi) = -1+2-1=0$.

$f''(2\pi) = 1+2-1=2>0$. Hence, $x=2\pi$ is a local minimum.

$f''(3\pi) = -1+2-1=0$.

If $x<\pi$, then $f'(x)>0$.

If $x>\pi$, then $f'(x)<0$.

Therefore, $x=\pi$ is a local maximum. $f(\pi)=\int_0^{\pi} (1+\cos t)\sin t dt = [-\cos t + \frac{1}{2}\sin^2 t]_0^{\pi} = 2$.

If $2\pi-\epsilon < x < 2\pi$, $f'(x)<0$.

If $2\pi < x < 2\pi+\epsilon$, $f'(x)>0$.

Therefore, $x=2\pi$ is a local minimum. $f(2\pi)=\int_0^{2\pi} (1+\cos t)\sin t dt = [-\cos t + \frac{1}{2}\sin^2 t]_0^{2\pi} = 0$.

If $3\pi-\epsilon < x < 3\pi$, $f'(x)<0$.

If $3\pi < x < 3\pi+\epsilon$, $f'(x)>0$.

Therefore, $x=3\pi$ is a local minimum. $f(3\pi)=\int_0^{3\pi} (1+\cos t)\sin t dt = [-\cos t + \frac{1}{2}\sin^2 t]_0^{3\pi} = 2$.

最終的な答え:

$x = \pi$で極大値 $2$

$x = 2\pi$で極小値 $0$

$x = 3\pi$で極小値 $2$