与えられた3次関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 3$ について、以下の問題を解きます。 (1) $f(x)$ が極値を持つための $a, b$ の満たす条件を求めます。 (2) (1) の条件のもとで、$f(x)$ が $x = \alpha$ と $x = \beta$ で極値を持つとします。ただし、$\alpha < \beta$ であるとき、$\beta - \alpha$ を $a$ と $b$ で表します。

1. 問題の内容

与えられた3次関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 3$ について、以下の問題を解きます。

(1) $f(x)$ が極値を持つための $a, b$ の満たす条件を求めます。

(2) (1) の条件のもとで、$f(x)$ が $x = \alpha$ と $x = \beta$ で極値を持つとします。ただし、$\alpha < \beta$ であるとき、$\beta - \alpha$ を $a$ と $b$ で表します。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ が極値を持つ条件を求める。

$f(x)$ が極値を持つためには、$f'(x) = 0$ が異なる2つの実数解を持たなければなりません。

まず、$f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$

$f'(x) = 0$ が異なる2つの実数解を持つためには、$f'(x)$ の判別式 $D$ が正である必要があります。

$D = (2a)^2 - 4(3)(b) = 4a^2 - 12b$

$D > 0$ より、

$4a^2 - 12b > 0$

$a^2 - 3b > 0$

$a^2 > 3b$

したがって、$a, b$ の満たす条件は $a^2 > 3b$ です。

(2) $\beta - \alpha$ を $a$ と $b$ で表す。

$f'(x) = 0$ の解が $\alpha$ と $\beta$ なので、解と係数の関係より

$\alpha + \beta = -\frac{2a}{3}$

$\alpha\beta = \frac{b}{3}$

したがって、

$(\beta - \alpha)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$

$(\beta - \alpha)^2 = \left(-\frac{2a}{3}\right)^2 - 4\left(\frac{b}{3}\right)$

$(\beta - \alpha)^2 = \frac{4a^2}{9} - \frac{4b}{3} = \frac{4a^2 - 12b}{9} = \frac{4}{9}(a^2 - 3b)$

ここで、$\alpha < \beta$ より $\beta - \alpha > 0$ なので、

$\beta - \alpha = \sqrt{\frac{4}{9}(a^2 - 3b)} = \frac{2}{3}\sqrt{a^2 - 3b}$

3. 最終的な答え

(1) $a^2 > 3b$

(2) $\beta - \alpha = \frac{2}{3}\sqrt{a^2 - 3b}$