例題229の(2)の問題を解きます。関数 $f(x) = x^3 - ax$ が区間 $-1 < x < 1$ において極値を持つような $a$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

例題229の(2)の問題を解きます。関数 $f(x) = x^3 - ax$ が区間 $-1 < x < 1$ において極値を持つような $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数を求めます。

$f'(x) = 3x^2 - a$

次に、$f(x)$ が極値を持つためには、$f'(x) = 0$ となる $x$ が存在し、その前後で $f'(x)$ の符号が変化する必要があります。

$f'(x) = 0$ を解くと、

$3x^2 - a = 0$

$x^2 = \frac{a}{3}$

$x = \pm\sqrt{\frac{a}{3}}$

$f(x)$ が区間 $-1 < x < 1$ において極値を持つためには、少なくとも一つの $f'(x) = 0$ の解が $-1 < x < 1$ を満たす必要があります。

つまり、

$-1 < \sqrt{\frac{a}{3}} < 1$

および

$-1 < -\sqrt{\frac{a}{3}} < 1$

の両方を満たす必要があります。

まず、$a$ は実数である必要があるので、$\frac{a}{3} \geq 0$ より $a \geq 0$ である必要があります。

$\sqrt{\frac{a}{3}} < 1$ より、$\frac{a}{3} < 1$ なので、$a < 3$。

したがって、$0 \leq a < 3$。

また、$f'(x)$ の符号が変化するためには、$a > 0$ である必要があります。もし $a=0$ ならば $f'(x) = 3x^2$ となり、$x=0$ で $f'(x)=0$ となりますが、$x=0$ の前後で $f'(x)$ の符号は変化しないので、極値を持ちません。

したがって、$0 < a < 3$ となります。

3. 最終的な答え

$0 < a < 3$