不等式 $x^4 - \frac{4}{3}x^3 - 4x^2 + k > 0$ がすべての実数 $x$ について成り立つような定数 $k$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

不等式 $x^4 - \frac{4}{3}x^3 - 4x^2 + k > 0$ がすべての実数 $x$ について成り立つような定数 $k$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = x^4 - \frac{4}{3}x^3 - 4x^2 + k$ とおきます。不等式がすべての実数 $x$ について成り立つためには、$f(x)$ の最小値が正であることが必要十分条件です。

$f(x)$ の最小値を求めるために、微分して増減を調べます。

$f'(x) = 4x^3 - 4x^2 - 8x = 4x(x^2 - x - 2) = 4x(x-2)(x+1)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ は $x = -1, 0, 2$ です。

これらの $x$ の値の前後で $f'(x)$ の符号を調べると、$f(x)$ の増減は以下のようになります。

* $x < -1$ のとき、$f'(x) < 0$

* $-1 < x < 0$ のとき、$f'(x) > 0$

* $0 < x < 2$ のとき、$f'(x) < 0$

* $x > 2$ のとき、$f'(x) > 0$

したがって、$f(x)$ は $x = -1, 2$ で極小値をとり、$x = 0$ で極大値をとります。

$f(-1) = 1 + \frac{4}{3} - 4 + k = k - \frac{5}{3}$

$f(2) = 16 - \frac{32}{3} - 16 + k = k - \frac{32}{3}$

最小値は $f(2) = k - \frac{32}{3}$ です。不等式がすべての $x$ について成り立つためには、$f(2) > 0$ である必要があります。

したがって、$k - \frac{32}{3} > 0$ より、$k > \frac{32}{3}$

3. 最終的な答え

$k > \frac{32}{3}$