与えられた三角関数の式を簡単にします。問題は2つあります。 (1) $\frac{\sin(90^\circ - \theta)}{1 - \sin(180^\circ - \theta)} - \frac{\sin(90^\circ + \theta)}{1 - \cos(90^\circ + \theta)} - \frac{2}{\tan(90^\circ - \theta)}$ (2) $(\sin 20^\circ + \cos 20^\circ)^2 + (\sin 110^\circ + \cos 110^\circ)^2$

1. 問題の内容

与えられた三角関数の式を簡単にします。問題は2つあります。

(1) $\frac{\sin(90^\circ - \theta)}{1 - \sin(180^\circ - \theta)} - \frac{\sin(90^\circ + \theta)}{1 - \cos(90^\circ + \theta)} - \frac{2}{\tan(90^\circ - \theta)}$

(2) $(\sin 20^\circ + \cos 20^\circ)^2 + (\sin 110^\circ + \cos 110^\circ)^2$

2. 解き方の手順

(1)

まず、三角関数の公式を利用して式を簡単にします。

$\sin(90^\circ - \theta) = \cos \theta$

$\sin(180^\circ - \theta) = \sin \theta$

$\sin(90^\circ + \theta) = \cos \theta$

$\cos(90^\circ + \theta) = -\sin \theta$

$\tan(90^\circ - \theta) = \frac{1}{\tan \theta}$

これらの公式を元の式に代入します。

$\frac{\cos \theta}{1 - \sin \theta} - \frac{\cos \theta}{1 + \sin \theta} - 2\tan \theta$

最初の2つの分数をまとめます。

$\frac{\cos \theta (1 + \sin \theta) - \cos \theta (1 - \sin \theta)}{(1 - \sin \theta)(1 + \sin \theta)} - 2\tan \theta$

$\frac{\cos \theta + \cos \theta \sin \theta - \cos \theta + \cos \theta \sin \theta}{1 - \sin^2 \theta} - 2\tan \theta$

$\frac{2\cos \theta \sin \theta}{\cos^2 \theta} - 2\tan \theta$

$\frac{2\sin \theta}{\cos \theta} - 2\tan \theta$

$2\tan \theta - 2\tan \theta = 0$

(2)

$(\sin 20^\circ + \cos 20^\circ)^2 + (\sin 110^\circ + \cos 110^\circ)^2$

$\sin 110^\circ = \sin (90^\circ + 20^\circ) = \cos 20^\circ$

$\cos 110^\circ = \cos (90^\circ + 20^\circ) = -\sin 20^\circ$

$(\sin 20^\circ + \cos 20^\circ)^2 + (\cos 20^\circ - \sin 20^\circ)^2$

$= (\sin^2 20^\circ + 2\sin 20^\circ \cos 20^\circ + \cos^2 20^\circ) + (\cos^2 20^\circ - 2\sin 20^\circ \cos 20^\circ + \sin^2 20^\circ)$

$= 2(\sin^2 20^\circ + \cos^2 20^\circ)$

$= 2(1) = 2$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) 2