実数 $a$ が与えられたとき、関数 $f(x) = x^3 - ax$ が区間 $-1 < x < 1$ において極値を持つような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

実数 $a$ が与えられたとき、関数 $f(x) = x^3 - ax$ が区間 $-1 < x < 1$ において極値を持つような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が極値を持つためには、$f'(x) = 0$ となる $x$ が存在する必要があります。

まず、$f(x)$ を微分します。

$f'(x) = 3x^2 - a$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - a = 0$

$3x^2 = a$

$x^2 = \frac{a}{3}$

$x = \pm \sqrt{\frac{a}{3}}$

関数 $f(x)$ が区間 $-1 < x < 1$ で極値を持つためには、少なくとも1つの $x$ ($x = \pm \sqrt{\frac{a}{3}}$) が $-1 < x < 1$ を満たす必要があります。

まず、$a/3$ が正である必要があります。なぜなら、$x$ は実数でなければならないからです。つまり、$a > 0$ である必要があります。

次に、$x$ が $-1 < x < 1$ を満たす必要があります。

$-\sqrt{\frac{a}{3}} < 1$ かつ $\sqrt{\frac{a}{3}} < 1$ が必要です。

$\sqrt{\frac{a}{3}} < 1$ は $\frac{a}{3} < 1$ を意味します。したがって、$a < 3$ となります。

また、$-\sqrt{\frac{a}{3}} > -1$ も満たされる必要がありますが、$\sqrt{\frac{a}{3}} < 1$ であればこれは自動的に満たされます。

したがって、$0 < a < 3$ となります。

また、極値を持つためには、$f'(x)$ の符号が変わる必要があります。$f'(x) = 3x^2 - a$ であり、$x = \pm \sqrt{\frac{a}{3}}$ の前後で符号が変わります。これは、$a \neq 0$ ならば常に成り立つため考慮する必要はありません。

3. 最終的な答え

$0 < a < 3$