曲線 $y = \sin x - \frac{2}{\pi}x$ ($0 \le x \le \frac{\pi}{2}$) と $x$ 軸で囲まれた図形を、$x$ 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積を求める問題です。その体積は $\frac{\boxed{1}}{\boxed{2} \boxed{3}}\pi^2 - \boxed{4}$ で表されるので、$\boxed{1}$、$\boxed{2}$、$\boxed{3}$、$\boxed{4}$ に入る数字を求めます。

1. 問題の内容

曲線 $y = \sin x - \frac{2}{\pi}x$ ($0 \le x \le \frac{\pi}{2}$) と $x$ 軸で囲まれた図形を、$x$ 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積を求める問題です。その体積は $\frac{\boxed{1}}{\boxed{2} \boxed{3}}\pi^2 - \boxed{4}$ で表されるので、$\boxed{1}$、$\boxed{2}$、$\boxed{3}$、$\boxed{4}$ に入る数字を求めます。

2. 解き方の手順

回転体の体積 $V$ は、

$V = \pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} y^2 dx$

で与えられます。

$y = \sin x - \frac{2}{\pi}x$ を代入すると、

$V = \pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin x - \frac{2}{\pi}x)^2 dx$

$V = \pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin^2 x - \frac{4}{\pi} x \sin x + \frac{4}{\pi^2} x^2) dx$

それぞれの項を積分します。

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos 2x}{2} dx = \left[ \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{4}$

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin x dx$ は部分積分を用いて計算します。

$u = x, dv = \sin x dx$ とすると、$du = dx, v = -\cos x$ より

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin x dx = \left[ -x \cos x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} (-\cos x) dx = 0 + \left[ \sin x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = 1$

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi^3}{24}$

したがって、

$V = \pi \left( \frac{\pi}{4} - \frac{4}{\pi} \cdot 1 + \frac{4}{\pi^2} \cdot \frac{\pi^3}{24} \right) = \pi \left( \frac{\pi}{4} - \frac{4}{\pi} + \frac{\pi}{6} \right)$

$V = \pi \left( \frac{3\pi + 2\pi}{12} - \frac{4}{\pi} \right) = \pi \left( \frac{5\pi}{12} - \frac{4}{\pi} \right) = \frac{5}{12} \pi^2 - 4$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{12}\pi^2 - 4$ より、$\boxed{1}=5$, $\boxed{2}=1$, $\boxed{3}=2$, $\boxed{4}=4$

となります。