問題は、$\lim_{x \to -3} \frac{x^2 - 9}{x^3 + 27}$ を計算することです。

1. 問題の内容

問題は、$\lim_{x \to -3} \frac{x^2 - 9}{x^3 + 27}$ を計算することです。

2. 解き方の手順

まず、分子と分母を因数分解します。

分子は $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ と因数分解できます。

分母は $x^3 + 27 = (x+3)(x^2 - 3x + 9)$ と因数分解できます。

したがって、

$\frac{x^2 - 9}{x^3 + 27} = \frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)(x^2 - 3x + 9)}$

$x \neq -3$ のとき、$x+3$ で約分できます。

$\frac{x-3}{x^2 - 3x + 9}$

したがって、

$\lim_{x \to -3} \frac{x^2 - 9}{x^3 + 27} = \lim_{x \to -3} \frac{x-3}{x^2 - 3x + 9}$

$x = -3$ を代入すると、

$\frac{-3 - 3}{(-3)^2 - 3(-3) + 9} = \frac{-6}{9 + 9 + 9} = \frac{-6}{27} = -\frac{2}{9}$

3. 最終的な答え

$-\frac{2}{9}$