すべての正の実数 $x$ に対して不等式 $\sqrt{x} + 2 \leq k\sqrt{x+1}$ が成り立つような実数 $k$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

すべての正の実数 $x$ に対して不等式 $\sqrt{x} + 2 \leq k\sqrt{x+1}$ が成り立つような実数 $k$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を変形します。$\sqrt{x+1}$ で両辺を割ると、

$\frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x+1}} \leq k$

となります。ここで、$f(x) = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x+1}}$ とおきます。すべての正の実数 $x$ に対してこの不等式が成り立つためには、$f(x)$ の最大値が $k$ 以下であればよいことになります。したがって、$f(x)$ の最大値を求めれば、$k$ の最小値が求まります。

$f(x)$ の最大値を求めるために、$f(x)$ を微分して増減を調べます。

$f'(x) = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\sqrt{x+1} - (\sqrt{x} + 2)\frac{1}{2\sqrt{x+1}}}{x+1} = \frac{\frac{x+1 - x - 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x(x+1)}}}{x+1} = \frac{1-2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}(x+1)^{3/2}}$

$f'(x) = 0$ となるのは、$1 - 2\sqrt{x} = 0$ のときなので、$\sqrt{x} = \frac{1}{2}$ より $x = \frac{1}{4}$ となります。

$x < \frac{1}{4}$ のとき、$f'(x) > 0$ であり、$x > \frac{1}{4}$ のとき、$f'(x) < 0$ です。したがって、$x = \frac{1}{4}$ で $f(x)$ は最大値をとります。

$f(\frac{1}{4}) = \frac{\sqrt{\frac{1}{4}} + 2}{\sqrt{\frac{1}{4} + 1}} = \frac{\frac{1}{2} + 2}{\sqrt{\frac{5}{4}}} = \frac{\frac{5}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$

したがって、$k$ の最小値は $\sqrt{5}$ となります。

3. 最終的な答え

$\sqrt{5}$