3次関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 3$ について、以下の問いに答える。 (1) $f(x)$ が極値を持つための $a, b$ の条件を求める。 (2) (1)のとき、$x = \alpha$ と $x = \beta$ で $f(x)$ が極値を持つとする。ただし、$\alpha < \beta$ である。このとき、$\beta - \alpha$ を $a, b$ で表す。 (3) (1) および (2) のとき、$|f(\alpha) - f(\beta)|$ を $a, b$ で表す。

1. 問題の内容

3次関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 3$ について、以下の問いに答える。

(1) $f(x)$ が極値を持つための $a, b$ の条件を求める。

(2) (1)のとき、$x = \alpha$ と $x = \beta$ で $f(x)$ が極値を持つとする。ただし、$\alpha < \beta$ である。このとき、$\beta - \alpha$ を $a, b$ で表す。

(3) (1) および (2) のとき、$|f(\alpha) - f(\beta)|$ を $a, b$ で表す。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ が極値を持つ条件を求める。

$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$

$f(x)$ が極値を持つためには、$f'(x) = 0$ が異なる2つの実数解を持つ必要がある。

したがって、$f'(x) = 0$ の判別式 $D$ が $D > 0$ である必要がある。

$D = (2a)^2 - 4 \cdot 3 \cdot b = 4a^2 - 12b$

$4a^2 - 12b > 0$ より、 $a^2 > 3b$

(2) $\beta - \alpha$ を求める。

$f'(x) = 0$ の2つの解が $\alpha$ と $\beta$ であるから、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -\frac{2a}{3}$

$\alpha \beta = \frac{b}{3}$

$\beta - \alpha = \sqrt{(\beta - \alpha)^2} = \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta} = \sqrt{\left(-\frac{2a}{3}\right)^2 - 4\left(\frac{b}{3}\right)} = \sqrt{\frac{4a^2}{9} - \frac{4b}{3}} = \frac{2}{3}\sqrt{a^2 - 3b}$

(3) $|f(\alpha) - f(\beta)|$ を求める。

$f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 3$

$f(\alpha) - f(\beta) = (\alpha^3 - \beta^3) + a(\alpha^2 - \beta^2) + b(\alpha - \beta)$

$= (\alpha - \beta)(\alpha^2 + \alpha \beta + \beta^2) + a(\alpha - \beta)(\alpha + \beta) + b(\alpha - \beta)$

$= (\alpha - \beta)[(\alpha + \beta)^2 - \alpha \beta + a(\alpha + \beta) + b]$

$= -(\beta - \alpha) \left[ \left(-\frac{2a}{3}\right)^2 - \frac{b}{3} + a\left(-\frac{2a}{3}\right) + b \right]$

$= -\frac{2}{3}\sqrt{a^2 - 3b} \left[ \frac{4a^2}{9} - \frac{b}{3} - \frac{2a^2}{3} + b \right]$

$= -\frac{2}{3}\sqrt{a^2 - 3b} \left[ \frac{4a^2 - 6a^2}{9} + \frac{-b + 3b}{3} \right]$

$= -\frac{2}{3}\sqrt{a^2 - 3b} \left[ -\frac{2a^2}{9} + \frac{2b}{3} \right]$

$= -\frac{2}{3}\sqrt{a^2 - 3b} \left[ \frac{-2a^2 + 6b}{9} \right]$

$= \frac{4}{27}(a^2 - 3b)^{\frac{3}{2}}$

$|f(\alpha) - f(\beta)| = \left| \frac{4}{27}(a^2 - 3b)^{\frac{3}{2}} \right| = \frac{4}{27}(a^2 - 3b)^{\frac{3}{2}}$

3. 最終的な答え

(1) $a^2 > 3b$

(2) $\beta - \alpha = \frac{2}{3}\sqrt{a^2 - 3b}$

(3) $|f(\alpha) - f(\beta)| = \frac{4}{27}(a^2 - 3b)^{\frac{3}{2}}$