$\sin{\frac{\pi}{12}}$ と $\cos{\frac{\pi}{8}}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\sin{\frac{\pi}{12}}$ と $\cos{\frac{\pi}{8}}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\sin{\frac{\pi}{12}}$ の値を求める。

$\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$ と変形できるので、正弦の加法定理を用いる。

$\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$

$A = \frac{\pi}{3}$, $B = \frac{\pi}{4}$ とすると、

$\sin{\frac{\pi}{12}} = \sin(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}) = \sin{\frac{\pi}{3}} \cos{\frac{\pi}{4}} - \cos{\frac{\pi}{3}} \sin{\frac{\pi}{4}}$

$\sin{\frac{\pi}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos{\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2}$, $\sin{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ を代入して、

$\sin{\frac{\pi}{12}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

(2) $\cos{\frac{\pi}{8}}$ の値を求める。

半角の公式を用いる。

$\cos^2{\frac{\theta}{2}} = \frac{1 + \cos\theta}{2}$

$\theta = \frac{\pi}{4}$ とすると、

$\cos^2{\frac{\pi}{8}} = \frac{1 + \cos{\frac{\pi}{4}}}{2} = \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

$\cos{\frac{\pi}{8}} = \pm \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \pm \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$\frac{\pi}{8}$ は第1象限の角なので、$\cos{\frac{\pi}{8}} > 0$。したがって、

$\cos{\frac{\pi}{8}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

3. 最終的な答え

$\sin{\frac{\pi}{12}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

$\cos{\frac{\pi}{8}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$