(1) 関数 $f(x)$ が積分を含む式 $f(x) = 3x^2 + \int_{0}^{1} f(t) dt + 1$ を満たすとき、$f(x)$ を求める。 (2) 関数 $g(x)$ が積分を含む式 $\int_{1}^{x} (3t+1)g(t) dt = 4 \int_{k}^{x} g(t) dt + 5x^3 - 3x^2 - 9x - 17$ を満たし、$g(1)=8$ であるとき、$g(x)$ と $k$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x)$ が積分を含む式 $f(x) = 3x^2 + \int_{0}^{1} f(t) dt + 1$ を満たすとき、$f(x)$ を求める。

(2) 関数 $g(x)$ が積分を含む式 $\int_{1}^{x} (3t+1)g(t) dt = 4 \int_{k}^{x} g(t) dt + 5x^3 - 3x^2 - 9x - 17$ を満たし、$g(1)=8$ であるとき、$g(x)$ と $k$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\int_{0}^{1} f(t) dt$ は定数なので、$A = \int_{0}^{1} f(t) dt$ とおく。

すると、$f(x) = 3x^2 + A + 1$ となる。

これを $A$ の定義に代入すると、

$A = \int_{0}^{1} (3t^2 + A + 1) dt = [t^3 + (A+1)t]_{0}^{1} = 1 + A + 1 = A + 2$

よって、$A = A + 2$ となるが、これは $0=2$ となるので、$A$ は存在しない。

しかし、これは矛盾ではない。これは $f(x)$ が与えられた式を満たせないことを意味する。問題文が間違っているか、もしくは解が存在しない。

問題文がおかしい場合は、積分範囲を0から1ではなく、ある変数にすることで解ける可能性があります。

ここでは、問題文は正しいものとして、解が存在しないという結論を導きます。

(2)

$\int_{1}^{x} (3t+1)g(t) dt = 4 \int_{k}^{x} g(t) dt + 5x^3 - 3x^2 - 9x - 17$

両辺を $x$ で微分すると、

$(3x+1)g(x) = 4g(x) + 15x^2 - 6x - 9$

$(3x-3)g(x) = 15x^2 - 6x - 9$

$3(x-1)g(x) = 3(5x^2 - 2x - 3)$

$g(x) = \frac{5x^2 - 2x - 3}{x-1} = \frac{(5x+3)(x-1)}{x-1} = 5x+3$ ($x \neq 1$)

$g(x) = 5x+3$

$g(1) = 5(1) + 3 = 8$ なので、$g(x) = 5x+3$ は条件を満たす。

$\int_{1}^{x} (3t+1)(5t+3) dt = 4 \int_{k}^{x} (5t+3) dt + 5x^3 - 3x^2 - 9x - 17$

$\int_{1}^{x} (15t^2 + 14t + 3) dt = 4 \int_{k}^{x} (5t+3) dt + 5x^3 - 3x^2 - 9x - 17$

$[5t^3 + 7t^2 + 3t]_{1}^{x} = 4 [ \frac{5}{2}t^2 + 3t]_{k}^{x} + 5x^3 - 3x^2 - 9x - 17$

$5x^3 + 7x^2 + 3x - (5+7+3) = 4 (\frac{5}{2}x^2 + 3x - (\frac{5}{2}k^2 + 3k)) + 5x^3 - 3x^2 - 9x - 17$

$5x^3 + 7x^2 + 3x - 15 = 10x^2 + 12x - (10k^2 + 12k) + 5x^3 - 3x^2 - 9x - 17$

$5x^3 + 7x^2 + 3x - 15 = 5x^3 + 7x^2 + 3x - 10k^2 - 12k - 17$

$-15 = -10k^2 - 12k - 17$

$10k^2 + 12k + 2 = 0$

$5k^2 + 6k + 1 = 0$

$(5k+1)(k+1) = 0$

$k = -1, -\frac{1}{5}$

3. 最終的な答え

(1) 解なし

(2)

$g(x) = 5x + 3$

$k = -1, -\frac{1}{5}$