関数 $y = \frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{x}$ を微分せよ。ただし、$a$は定数とする。

了解いたしました。画像にある問題のうち、問3.15(1) $y = \sqrt{a^2 - x^2} / x$ を解きます。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{x}$ を微分せよ。ただし、$a$は定数とする。

2. 解き方の手順

まず、$y$を$u$と$v$を用いて$y = \frac{u}{v}$の形に書き換えます。

$u = \sqrt{a^2 - x^2}$

$v = x$

商の微分公式を利用して、$\frac{dy}{dx} = \frac{u'v - uv'}{v^2}$を計算します。

まず、$u$を微分します。

$u = \sqrt{a^2 - x^2} = (a^2 - x^2)^{\frac{1}{2}}$

連鎖律を用いて微分すると、

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2}(a^2 - x^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{a^2 - x^2}}$

次に、$v$を微分します。

$v = x$

$\frac{dv}{dx} = 1$

これらの結果を商の微分公式に代入します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{-x}{\sqrt{a^2 - x^2}} \cdot x - \sqrt{a^2 - x^2} \cdot 1}{x^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{-x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} - \sqrt{a^2 - x^2}}{x^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-x^2 - (a^2 - x^2)}{x^2\sqrt{a^2 - x^2}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-x^2 - a^2 + x^2}{x^2\sqrt{a^2 - x^2}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-a^2}{x^2\sqrt{a^2 - x^2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{a^2}{x^2\sqrt{a^2 - x^2}}$