極限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} + e^x - 2}{x}$ を求めよ。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} + e^x - 2}{x}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この極限は $\frac{0}{0}$ の不定形であるため、ロピタルの定理を適用できる。

ロピタルの定理とは、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ が $\frac{0}{0}$ または $\frac{\infty}{\infty}$ の形であるとき、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ が成り立つ、というものである。

まず、$f(x) = e^{2x} + e^x - 2$ と $g(x) = x$ とおく。

$f'(x) = 2e^{2x} + e^x$

$g'(x) = 1$

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} + e^x - 2}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x} + e^x}{1}$

$x \to 0$ のとき、$e^{2x} \to 1$ かつ $e^x \to 1$ であるから、

$\lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x} + e^x}{1} = 2(1) + 1 = 3$

3. 最終的な答え

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