$\lim_{x \to 0} \frac{\log((1+x)(1+x^2))}{x}$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\log((1+x)(1+x^2))}{x}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を使って式を整理します。

$\log(ab) = \log a + \log b$ を用いると、

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x) + \log(1+x^2)}{x}$

次に、この極限を二つの項に分けます。

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} + \lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x^2)}{x}$

一つ目の極限は、$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} = 1$ という有名な極限です。

二つ目の極限は、少し工夫が必要です。$x^2 = u$ と置換すると、$x \to 0$ のとき、$u \to 0$ となります。したがって、$x = \sqrt{u}$ より、

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x^2)}{x} = \lim_{u \to 0} \frac{\log(1+u)}{\sqrt{u}} = \lim_{u \to 0} \frac{\log(1+u)}{u} \cdot \sqrt{u}$

$\lim_{u \to 0} \frac{\log(1+u)}{u} = 1$ であるから、

$\lim_{u \to 0} \frac{\log(1+u)}{\sqrt{u}} = \lim_{u \to 0} 1 \cdot \sqrt{u} = 0$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x) + \log(1+x^2)}{x} = 1 + 0 = 1$

3. 最終的な答え

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