関数 $f(x)$ が $f(x) = \int_{0}^{x} (1 + \cos t) \sin t \, dt$ で定義されているとき、この関数を求めなさい。ただし、$0 < x < 4\pi$ である。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が $f(x) = \int_{0}^{x} (1 + \cos t) \sin t \, dt$ で定義されているとき、この関数を求めなさい。ただし、$0 < x < 4\pi$ である。

2. 解き方の手順

与えられた積分を計算します。まず、$f(x)$ の積分の中身を展開します。

$$(1 + \cos t) \sin t = \sin t + \cos t \sin t = \sin t + \frac{1}{2} \sin 2t$$

したがって、

$$f(x) = \int_{0}^{x} \left( \sin t + \frac{1}{2} \sin 2t \right) \, dt$$

積分を計算します。

$$f(x) = \left[ -\cos t - \frac{1}{4} \cos 2t \right]_{0}^{x} = -\cos x - \frac{1}{4} \cos 2x - \left( -\cos 0 - \frac{1}{4} \cos 0 \right)$$

$$f(x) = -\cos x - \frac{1}{4} \cos 2x - \left( -1 - \frac{1}{4} \right) = -\cos x - \frac{1}{4} \cos 2x + 1 + \frac{1}{4} = -\cos x - \frac{1}{4} \cos 2x + \frac{5}{4}$$

倍角の公式 $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$ を用いて、

$$f(x) = -\cos x - \frac{1}{4} (2 \cos^2 x - 1) + \frac{5}{4} = -\cos x - \frac{1}{2} \cos^2 x + \frac{1}{4} + \frac{5}{4} = -\cos x - \frac{1}{2} \cos^2 x + \frac{6}{4} = -\cos x - \frac{1}{2} \cos^2 x + \frac{3}{2}$$

よって、

$$f(x) = - \frac{1}{2} \cos^2 x - \cos x + \frac{3}{2}$$

3. 最終的な答え

$f(x) = -\frac{1}{2} \cos^2 x - \cos x + \frac{3}{2}$