与えられた関数 $y = \frac{x-1}{\log x + 1}$ の導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{x-1}{\log x + 1}$ の導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

商の微分公式を用います。商の微分公式は、関数 $u(x)$ と $v(x)$ に対して、

$\frac{d}{dx} \left(\frac{u(x)}{v(x)}\right) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$

で与えられます。

この問題では、$u(x) = x-1$ 、 $v(x) = \log x + 1$ とおきます。

まず、$u(x)$ と $v(x)$ の導関数を求めます。

$u'(x) = \frac{d}{dx}(x-1) = 1$

$v'(x) = \frac{d}{dx}(\log x + 1) = \frac{1}{x}$

次に、商の微分公式に代入します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} = \frac{1 \cdot (\log x + 1) - (x-1) \cdot \frac{1}{x}}{(\log x + 1)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\log x + 1 - \frac{x-1}{x}}{(\log x + 1)^2} = \frac{\log x + 1 - 1 + \frac{1}{x}}{(\log x + 1)^2} = \frac{\log x + \frac{1}{x}}{(\log x + 1)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{x \log x + 1}{x (\log x + 1)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{x \log x + 1}{x (\log x + 1)^2}$