媒介変数 $t$ で表された曲線 $ \begin{cases} x = t + \frac{1}{t} \\ y = t - \frac{1}{2t^2} \end{cases} $ ($t \ne 0$) の漸近線、凹凸を調べ、曲線の概形を描け。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ で表された曲線

$$

\begin{cases}

x = t + \frac{1}{t} \\

y = t - \frac{1}{2t^2}

\end{cases}

$$

($t \ne 0$) の漸近線、凹凸を調べ、曲線の概形を描け。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ を $t$ で微分する。

$\frac{dx}{dt} = 1 - \frac{1}{t^2}$

$\frac{dy}{dt} = 1 + \frac{1}{t^3}$

次に、$\frac{dy}{dx}$ を計算する。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{1 + \frac{1}{t^3}}{1 - \frac{1}{t^2}} = \frac{t^3+1}{t^3} \cdot \frac{t^2}{t^2-1} = \frac{(t+1)(t^2-t+1)}{t(t-1)(t+1)} = \frac{t^2-t+1}{t(t-1)}$ (ただし、$t \ne -1$)

さらに、$\frac{d^2y}{dx^2}$ を計算する。

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} (\frac{dy}{dx}) = \frac{d}{dt} (\frac{dy}{dx}) \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{\frac{d}{dt} (\frac{dy}{dx})}{\frac{dx}{dt}}$

$\frac{d}{dt} (\frac{dy}{dx}) = \frac{d}{dt} (\frac{t^2-t+1}{t^2-t}) = \frac{(2t-1)(t^2-t) - (t^2-t+1)(2t-1)}{(t^2-t)^2} = \frac{(2t-1)(t^2-t - t^2 + t - 1)}{(t^2-t)^2} = \frac{-(2t-1)}{(t^2-t)^2} = \frac{1-2t}{t^2(t-1)^2}$

よって、

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{1-2t}{t^2(t-1)^2}}{1-\frac{1}{t^2}} = \frac{1-2t}{t^2(t-1)^2} \cdot \frac{t^2}{t^2-1} = \frac{1-2t}{(t-1)^2(t-1)(t+1)} = \frac{1-2t}{(t-1)^3(t+1)}$

漸近線について、$t \to 0$ のとき、$x \to \pm \infty$、$y \to \pm \infty$。

$x-y = \frac{1}{t} + \frac{1}{2t^2} = \frac{2t+1}{2t^2}$

$t \to 0$ のとき、$x-y \to \infty$。

$t \to \pm \infty$のとき、$x \sim t$、$y \sim t$。したがって、$y=x$ が漸近線。

増減表と凹凸を調べ、グラフの概形を描く。

3. 最終的な答え

曲線の概形を描く。$y=x$ が漸近線。

(グラフの概形は省略)