$e$は自然対数の底、$c$は正の定数とする。以下の問いに答えよ。 (1) 方程式 $x=ce^{-x}$ は、$0<x<c$ でただ1つの解をもつことを示せ。 (2) $a \ge 0$, $b \ge 0$ に対して、不等式 $|e^{-a}-e^{-b}| \le |a-b|$ が成り立つことを示せ。 (3) (1)の方程式の解を $\alpha$ とし、数列 $\{x_n\}$ を、$x_1 = 0$, $x_{n+1} = ce^{-x_n}$ ($n=1, 2, 3, \dots$) により定める。このとき、$n=1, 2, 3, \dots$ に対して、不等式 $|x_{n+1} - \alpha| \le c|x_n - \alpha|$ が成り立つことを示せ。 (4) (3)の数列 $\{x_n\}$ について、$0<c<1$ のとき、$\lim_{n\to\infty} x_n = \alpha$ を示せ。

1. 問題の内容

$e$は自然対数の底、$c$は正の定数とする。以下の問いに答えよ。

(1) 方程式 $x=ce^{-x}$ は、$0<x<c$ でただ1つの解をもつことを示せ。

(2) $a \ge 0$, $b \ge 0$ に対して、不等式 $|e^{-a}-e^{-b}| \le |a-b|$ が成り立つことを示せ。

(3) (1)の方程式の解を $\alpha$ とし、数列 $\{x_n\}$ を、$x_1 = 0$, $x_{n+1} = ce^{-x_n}$ ($n=1, 2, 3, \dots$) により定める。このとき、$n=1, 2, 3, \dots$ に対して、不等式 $|x_{n+1} - \alpha| \le c|x_n - \alpha|$ が成り立つことを示せ。

(4) (3)の数列 $\{x_n\}$ について、$0<c<1$ のとき、$\lim_{n\to\infty} x_n = \alpha$ を示せ。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x - ce^{-x}$ とおく。$f(x)$ が $0 < x < c$ で連続であり、単調増加であることを示し、$f(0) < 0$ かつ $f(c) > 0$ であることを示せば、中間値の定理より $0 < x < c$ でただ1つの解を持つことが言える。

$f'(x) = 1 - c(-e^{-x}) = 1 + ce^{-x} > 0$ なので、$f(x)$は単調増加。

$f(0) = 0 - ce^{-0} = -c < 0$

$f(c) = c - ce^{-c} = c(1 - e^{-c})$. $c > 0$ なので、$1 - e^{-c} > 0$ を示せば良い。$e^{-c} < 1$ なので、$1 - e^{-c} > 0$。よって、$f(c) > 0$。

したがって、$0 < x < c$ でただ1つの解をもつ。

(2) 平均値の定理を用いる。$g(x) = e^{-x}$ とする。$a$ と $b$ の間に $t$ が存在して、

$\frac{g(a) - g(b)}{a-b} = g'(t)$ となる。つまり、

$\frac{e^{-a} - e^{-b}}{a-b} = -e^{-t}$

$|e^{-a} - e^{-b}| = |a-b||-e^{-t}| = |a-b|e^{-t}$

$a \ge 0$, $b \ge 0$ より、$t \ge 0$ であるから、$e^{-t} \le 1$。

よって、$|e^{-a} - e^{-b}| \le |a-b|$。

(3) $x_{n+1} = ce^{-x_n}$ であり、$\alpha = ce^{-\alpha}$ であるから、

$x_{n+1} - \alpha = ce^{-x_n} - ce^{-\alpha} = c(e^{-x_n} - e^{-\alpha})$

$|x_{n+1} - \alpha| = |c(e^{-x_n} - e^{-\alpha})| = c|e^{-x_n} - e^{-\alpha}|$

(2)より、$|e^{-x_n} - e^{-\alpha}| \le |x_n - \alpha|$ であるから、

$|x_{n+1} - \alpha| \le c|x_n - \alpha|$。

(4) $|x_{n+1} - \alpha| \le c|x_n - \alpha|$ であるから、

$|x_n - \alpha| \le c^{n-1} |x_1 - \alpha|$

$x_1 = 0$ より、$|x_n - \alpha| \le c^{n-1} |\alpha|$

$0 < c < 1$ であるから、$\lim_{n\to\infty} c^{n-1} = 0$

したがって、$\lim_{n\to\infty} |x_n - \alpha| = 0$。

よって、$\lim_{n\to\infty} x_n = \alpha$。

3. 最終的な答え

(1) 方程式 $x=ce^{-x}$ は、$0<x<c$ でただ1つの解をもつ。

(2) $a \ge 0$, $b \ge 0$ に対して、不等式 $|e^{-a}-e^{-b}| \le |a-b|$ が成り立つ。

(3) $n=1, 2, 3, \dots$ に対して、不等式 $|x_{n+1} - \alpha| \le c|x_n - \alpha|$ が成り立つ。

(4) $\lim_{n\to\infty} x_n = \alpha$