関数 $f(x) = x^3 + (k-9)x^2 + (k+9)x + 1$ (ここで、$k$ は定数) が極値をもたないような、$k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 + (k-9)x^2 + (k+9)x + 1$ (ここで、$k$ は定数) が極値をもたないような、$k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が極値をもたないための条件は、$f'(x) = 0$ が実数解を持たないか、または重解を持つことです。

まず、$f(x)$ を微分します。

$f'(x) = 3x^2 + 2(k-9)x + (k+9)$

$f(x)$ が極値を持たないためには、$f'(x) = 0$ の判別式 $D$ が $D \le 0$ を満たす必要があります。

判別式 $D$ は以下の式で与えられます。

$D = (2(k-9))^2 - 4 \cdot 3 \cdot (k+9)$

$D = 4(k^2 - 18k + 81) - 12(k+9)$

$D = 4k^2 - 72k + 324 - 12k - 108$

$D = 4k^2 - 84k + 216$

$f(x)$ が極値を持たない条件は、$D \le 0$ です。

$4k^2 - 84k + 216 \le 0$

$k^2 - 21k + 54 \le 0$

$(k-3)(k-18) \le 0$

したがって、$3 \le k \le 18$

3. 最終的な答え

$3 \le k \le 18$