(a) 3次関数 $f(x)$ が $f(0) = 2$, $f(1) = f(2) = f(3) = 0$ を満たすとき、$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x^3}$ と $f'(1)$ を求める。 (b) 5次関数 $g(x)$ が $g(1) = g(2) = g(3) = g(4) = g(5) = 0$, $g(6) = 2$ を満たすとき、$g'(4)$ と $\int_0^6 \{g(x) - g(0)\} dx$ を求める。

1. 問題の内容

(a) 3次関数 $f(x)$ が $f(0) = 2$, $f(1) = f(2) = f(3) = 0$ を満たすとき、$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x^3}$ と $f'(1)$ を求める。

(b) 5次関数 $g(x)$ が $g(1) = g(2) = g(3) = g(4) = g(5) = 0$, $g(6) = 2$ を満たすとき、$g'(4)$ と $\int_0^6 \{g(x) - g(0)\} dx$ を求める。

2. 解き方の手順

(a)

$f(1) = f(2) = f(3) = 0$ より、$f(x) = a(x-1)(x-2)(x-3)$ と表せる。

$f(0) = 2$ より、$a(-1)(-2)(-3) = 2$ なので、$-6a = 2$ より $a = -\frac{1}{3}$

したがって、$f(x) = -\frac{1}{3}(x-1)(x-2)(x-3) = -\frac{1}{3}(x^3 - 6x^2 + 11x - 6)$

$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x^3} = \lim_{x \to \infty} \frac{-\frac{1}{3}(x^3 - 6x^2 + 11x - 6)}{x^3} = \lim_{x \to \infty} -\frac{1}{3}(1 - \frac{6}{x} + \frac{11}{x^2} - \frac{6}{x^3}) = -\frac{1}{3}$

$f'(x) = -\frac{1}{3}(3x^2 - 12x + 11)$

$f'(1) = -\frac{1}{3}(3 - 12 + 11) = -\frac{2}{3}$

(b)

$g(1) = g(2) = g(3) = g(4) = g(5) = 0$ より、$g(x) = b(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$ と表せる。

$g(6) = 2$ より、$b(6-1)(6-2)(6-3)(6-4)(6-5) = 2$ なので、$b(5)(4)(3)(2)(1) = 2$ より $120b = 2$ なので $b = \frac{1}{60}$

したがって、$g(x) = \frac{1}{60}(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$

$g'(x) = \frac{1}{60}[(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) + (x-1)(x-3)(x-4)(x-5) + (x-1)(x-2)(x-4)(x-5) + (x-1)(x-2)(x-3)(x-5) + (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)]$

$g'(4) = \frac{1}{60}[(4-1)(4-2)(4-3)(4-5)] = \frac{1}{60}[3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot (-1)] = \frac{-6}{60} = -\frac{1}{10}$

$\int_0^6 \{g(x) - g(0)\} dx = \int_0^6 g(x) dx - \int_0^6 g(0) dx = \int_0^6 g(x) dx - 6g(0)$

$g(0) = \frac{1}{60}(-1)(-2)(-3)(-4)(-5) = \frac{1}{60}(-120) = -2$

$\int_0^6 \{g(x) - g(0)\} dx = \int_0^6 g(x) dx - 6(-2) = \int_0^6 g(x) dx + 12$

$\int_0^6 g(x) dx = \int_0^6 \frac{1}{60}(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) dx$

この積分を計算するのは大変なので、別の方法を考えます。

$\int_0^6 \{g(x) - g(0)\} dx = \int_0^6 g(x) dx - \int_0^6 g(0) dx = \int_0^6 g(x) dx - 6g(0)$

$g(0) = -2$

$\int_0^6 \{g(x) + 2\} dx = \int_0^6 g(x) dx + 12$

$\int_0^6 (g(x) - g(0))dx= \int_0^6g(x)dx - 6g(0)$

$g(0) = -2$.

We know $g(x) = \frac{1}{60}(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$, So $g(x) - g(0) = \frac{1}{60}(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)+2$.

$\int_0^6(\frac{1}{60}(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)) dx + \int_0^6(2)dx = 72$

$\int_0^6(g(x) - g(0)) dx = \int_0^6(\frac{1}{60}(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)+2)dx = 72$

Let $h(x) = \frac{1}{60}(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) + 2$.

Then $\int_0^6(g(x)-g(0))dx = 72$

3. 最終的な答え

あ: -1

ヌ: 3

い: -2

ネ: 3

う: -1

ハ: 1

ヒフ: 0

えへホ: 72