曲線 $C: y = x^3 - 3x^2 - 9x + 8$ について、以下の2つの問いに答えます。 (1) $x=0$ における接線の方程式を求めよ。 (2) (1)で求めた接線と平行な、曲線C上の別の接線の接点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $C: y = x^3 - 3x^2 - 9x + 8$ について、以下の2つの問いに答えます。

(1) $x=0$ における接線の方程式を求めよ。

(2) (1)で求めた接線と平行な、曲線C上の別の接線の接点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $x=0$ における接線の方程式を求める。

- まず、$x=0$ のときの $y$ の値を求める。

$y = 0^3 - 3(0)^2 - 9(0) + 8 = 8$

よって、接点の座標は $(0, 8)$ である。

- 次に、$y$ を $x$ で微分して、導関数 $y'$ を求める。

$y' = 3x^2 - 6x - 9$

- $x=0$ における $y'$ の値を求める。これが接線の傾きとなる。

$y' = 3(0)^2 - 6(0) - 9 = -9$

- よって、接線の傾きは $-9$ である。

- 接点の座標 $(0, 8)$ と傾き $-9$ を用いて、接線の方程式を求める。

$y - 8 = -9(x - 0)$

$y = -9x + 8$

(2) (1)で求めた接線と平行な、曲線C上の別の接線の接点の座標を求める。

- (1)で求めた接線の傾きは $-9$ である。

- 曲線C上の別の接線の傾きも $-9$ であるから、

$3x^2 - 6x - 9 = -9$

$3x^2 - 6x = 0$

$3x(x - 2) = 0$

$x = 0, 2$

- $x=0$ は既にわかっているので、$x=2$ の場合を考える。

- $x=2$ のときの $y$ の値を求める。

$y = 2^3 - 3(2)^2 - 9(2) + 8 = 8 - 12 - 18 + 8 = -14$

- よって、求める接点の座標は $(2, -14)$ である。

3. 最終的な答え

(1) $x=0$ における接線の方程式: $y = -9x + 8$

(2) (1)で求めた接線と平行な別の接線の接点の座標: $(2, -14)$