## 問題の解答

## 問題の解答

### (1) 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos(2x) dx$ を計算します。

### (1) 解き方の手順

部分積分を使って解きます。

$u = x$, $dv = \cos(2x) dx$ と置くと、

$du = dx$, $v = \frac{1}{2}\sin(2x)$ となります。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ より、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos(2x) dx = \left[ x \cdot \frac{1}{2}\sin(2x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2}\sin(2x) dx$

$= \left[ \frac{x}{2}\sin(2x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x) dx$

$= \left[ \frac{\pi/2}{2}\sin(\pi) - \frac{0}{2}\sin(0) \right] - \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{2}\cos(2x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

$= 0 - \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{2}\cos(\pi) + \frac{1}{2}\cos(0) \right]$

$= -\frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{2}(-1) + \frac{1}{2}(1) \right]$

$= -\frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right]$

$= -\frac{1}{2} (1)$

$= -\frac{1}{2}$

### (1) 最終的な答え

$-\frac{1}{2}$

### (2) 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x^2 \sin(2x) dx$ を計算します。

### (2) 解き方の手順

部分積分を2回使って解きます。

1回目:

$u = x^2$, $dv = \sin(2x) dx$ と置くと、

$du = 2x dx$, $v = -\frac{1}{2}\cos(2x)$ となります。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x^2 \sin(2x) dx = \left[ x^2 \cdot \left( -\frac{1}{2}\cos(2x) \right) \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left( -\frac{1}{2}\cos(2x) \right) 2x dx$

$= \left[ -\frac{x^2}{2}\cos(2x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} + \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x\cos(2x) dx$

$= \left[ -\frac{(\pi/4)^2}{2}\cos(\pi/2) + \frac{0^2}{2}\cos(0) \right] + \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x\cos(2x) dx$

$= 0 + \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x\cos(2x) dx$

2回目:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x\cos(2x) dx$ について、

$u = x$, $dv = \cos(2x) dx$ と置くと、

$du = dx$, $v = \frac{1}{2}\sin(2x)$ となります。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x\cos(2x) dx = \left[ x \cdot \frac{1}{2}\sin(2x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2}\sin(2x) dx$

$= \left[ \frac{x}{2}\sin(2x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} - \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin(2x) dx$

$= \left[ \frac{\pi/4}{2}\sin(\pi/2) - \frac{0}{2}\sin(0) \right] - \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{2}\cos(2x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$

$= \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{2}\cos(\pi/2) + \frac{1}{2}\cos(0) \right]$

$= \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2} \left[ 0 + \frac{1}{2} \right]$

$= \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4}$

したがって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x^2 \sin(2x) dx = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4}$

### (2) 最終的な答え

$\frac{\pi}{8} - \frac{1}{4}$

### (3) 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{2\pi} e^x \cos(x) dx$ を計算します。

### (3) 解き方の手順

部分積分を2回使って解きます。

1回目:

$u = \cos(x)$, $dv = e^x dx$ と置くと、

$du = -\sin(x) dx$, $v = e^x$ となります。

$\int_{0}^{2\pi} e^x \cos(x) dx = \left[ e^x \cos(x) \right]_{0}^{2\pi} - \int_{0}^{2\pi} e^x (-\sin(x)) dx$

$= \left[ e^{2\pi} \cos(2\pi) - e^0 \cos(0) \right] + \int_{0}^{2\pi} e^x \sin(x) dx$

$= e^{2\pi} - 1 + \int_{0}^{2\pi} e^x \sin(x) dx$

2回目:

$\int_{0}^{2\pi} e^x \sin(x) dx$ について、

$u = \sin(x)$, $dv = e^x dx$ と置くと、

$du = \cos(x) dx$, $v = e^x$ となります。

$\int_{0}^{2\pi} e^x \sin(x) dx = \left[ e^x \sin(x) \right]_{0}^{2\pi} - \int_{0}^{2\pi} e^x \cos(x) dx$

$= \left[ e^{2\pi} \sin(2\pi) - e^0 \sin(0) \right] - \int_{0}^{2\pi} e^x \cos(x) dx$

$= 0 - \int_{0}^{2\pi} e^x \cos(x) dx$

$= -\int_{0}^{2\pi} e^x \cos(x) dx$

したがって、

$\int_{0}^{2\pi} e^x \cos(x) dx = e^{2\pi} - 1 - \int_{0}^{2\pi} e^x \cos(x) dx$

$2 \int_{0}^{2\pi} e^x \cos(x) dx = e^{2\pi} - 1$

$\int_{0}^{2\pi} e^x \cos(x) dx = \frac{e^{2\pi} - 1}{2}$

### (3) 最終的な答え

$\frac{e^{2\pi} - 1}{2}$