$\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形する問題です。ただし、$r>0$, $-\pi < \alpha \le \pi$ とします。

1. 問題の内容

$\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形する問題です。ただし、$r>0$, $-\pi < \alpha \le \pi$ とします。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の合成公式を使います。

$a\sin\theta + b\cos\theta = r\sin(\theta + \alpha)$とすると、$r = \sqrt{a^2 + b^2}$ であり、$\cos\alpha = \frac{a}{r}$, $\sin\alpha = \frac{b}{r}$ を満たす $\alpha$ を求めます。

この問題では、$a=\sqrt{3}$ 、$b=1$ なので、

$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$

となります。

次に、$\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\alpha = \frac{1}{2}$ を満たす $\alpha$ を求めます。

$-\pi < \alpha \le \pi$ の範囲で考えると、$\alpha = \frac{\pi}{6}$ となります。

したがって、

$\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta = 2\sin(\theta + \frac{\pi}{6})$

となります。

3. 最終的な答え

$2\sin(\theta + \frac{\pi}{6})$