関数 $f(x) = -x^3 + 9x^2 - 24x + 12$ の $0 \le x \le a$ における最小値と最大値を求める問題です。ただし、最小値は $0 < a < 1$ または $a > 2$ のとき、および $1 \le a \le 2$ のときで場合分けされています。また、最大値を求める必要があります。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -x^3 + 9x^2 - 24x + 12$ の $0 \le x \le a$ における最小値と最大値を求める問題です。ただし、最小値は $0 < a < 1$ または $a > 2$ のとき、および $1 \le a \le 2$ のときで場合分けされています。また、最大値を求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ の導関数を求めます。

$f'(x) = -3x^2 + 18x - 24 = -3(x^2 - 6x + 8) = -3(x-2)(x-4)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 2, 4$ のときです。

$x=2$と$x=4$で$f(x)$の増減が変化します。

$f(0) = 12$

$f(2) = -8 + 36 - 48 + 12 = -8$

$f(4) = -64 + 144 - 96 + 12 = -4$

$0 \le x \le a$ の範囲で考えます。

(1) $0 < a < 1$ のとき：

$f(x)$ は区間 $[0, a]$ で減少するので、最小値は $f(a) = -a^3 + 9a^2 - 24a + 12$ となります。

最大値は $f(0) = 12$ となります。

(2) $1 \le a \le 2$ のとき：

$f(x)$ は区間 $[0, a]$ で減少した後、$x=2$で極小値を持ちます。

最小値は $f(2) = -8$ となります。

最大値は $f(0) = 12$ となります。

(3) $a > 2$ のとき：

最小値は、$x=2$で極小値$f(2) = -8$をとる、$f(4)=-4$

もし$a\le 4$のとき、最小値は$f(2) = -8$となる

もし$a > 4$のとき、最小値は$f(4) = -4$となる。

最大値は $f(0)=12$となる。

問題文より、$0 < a < 1$または$a > 2$のとき最小値は $f(a)$で、$1 \le a \le 2$のときは定数となる。

したがって、 $0 < a < 1$ または $a > 2$ のとき最小値は $-a^3 + 9a^2 - 24a + 12$ なので正しい。

$1 \le a \le 2$ のとき最小値は $f(2)=-8$となる。

最大値は、常に $f(0) = 12$ となります。

3. 最終的な答え

最小値：

$0 < a < 1, a > 2$ のとき： $-a^3 + 9a^2 - 24a + 12$

$1 \le a \le 2$ のとき： -8

よって、3 = -8, 4 = -8

最大値: 12

よって、5 = 1, 6 = 2