次の極限を求めます。 $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \tan x$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \tan x$

2. 解き方の手順

与えられた極限を計算するために、まず $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ を用いて書き換えます。

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \tan x = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \frac{\sin x}{\cos x}$

ここで、$x - \frac{\pi}{2} = t$ と置換すると、$x = t + \frac{\pi}{2}$ となり、$x \to \frac{\pi}{2}$ のとき、$t \to 0$ となります。したがって、

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \frac{\sin x}{\cos x} = \lim_{t \to 0} t \frac{\sin (t + \frac{\pi}{2})}{\cos (t + \frac{\pi}{2})}$

三角関数の加法定理より、$\sin (t + \frac{\pi}{2}) = \sin t \cos \frac{\pi}{2} + \cos t \sin \frac{\pi}{2} = \cos t$、$\cos (t + \frac{\pi}{2}) = \cos t \cos \frac{\pi}{2} - \sin t \sin \frac{\pi}{2} = -\sin t$ となるので、

$\lim_{t \to 0} t \frac{\sin (t + \frac{\pi}{2})}{\cos (t + \frac{\pi}{2})} = \lim_{t \to 0} t \frac{\cos t}{-\sin t} = - \lim_{t \to 0} \frac{t}{\sin t} \cos t$

$\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$ より、$\lim_{t \to 0} \frac{t}{\sin t} = 1$ であり、$\lim_{t \to 0} \cos t = 1$ であるから、

$- \lim_{t \to 0} \frac{t}{\sin t} \cos t = - (1)(1) = -1$

3. 最終的な答え

-1