関数 $f(x) = \arcsin\sqrt{\frac{x+1}{2}}$ の導関数 $f'(x)$ を求める。

## 問題1

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \arcsin\sqrt{\frac{x+1}{2}}$ の導関数 $f'(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、合成関数の微分公式を用いる。

$u = \sqrt{\frac{x+1}{2}}$ とおくと、 $f(x) = \arcsin u$ となる。

$\frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を計算する。

$\frac{df}{du} = \frac{d}{du} \arcsin u = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$

$u = \sqrt{\frac{x+1}{2}}$ なので、

$u^2 = \frac{x+1}{2}$

よって、

$\frac{df}{du} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{x+1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1-x}{2}}} = \sqrt{\frac{2}{1-x}}$

次に、$\frac{du}{dx}$ を計算する。

$u = \sqrt{\frac{x+1}{2}} = \left(\frac{x+1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}$

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2}\left(\frac{x+1}{2}\right)^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4\sqrt{\frac{x+1}{2}}} = \frac{1}{4} \sqrt{\frac{2}{x+1}}$

$\frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \sqrt{\frac{2}{1-x}} \cdot \frac{1}{4} \sqrt{\frac{2}{x+1}} = \frac{1}{4} \sqrt{\frac{4}{(1-x)(x+1)}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}$

3. 最終的な答え

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}$

## 問題2

1. 問題の内容

関数 $y = \arctan x$ の $x = \sqrt{3}$ における接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

接線の方程式は $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ で表される。ここで、$a = \sqrt{3}$ である。

まず、$f(a) = \arctan(\sqrt{3})$ を計算する。

$\arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$

次に、$f'(x)$ を計算する。

$f'(x) = \frac{d}{dx} \arctan x = \frac{1}{1+x^2}$

次に、$f'(a) = f'(\sqrt{3})$ を計算する。

$f'(\sqrt{3}) = \frac{1}{1+(\sqrt{3})^2} = \frac{1}{1+3} = \frac{1}{4}$

よって、接線の方程式は

$y = \frac{1}{4}(x-\sqrt{3}) + \frac{\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$y = \frac{1}{4}x - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\pi}{3}$